“数式渐进三段导学”教学模式及其应用*

广东省中山市中山纪念中学(528454) 赵桂枝

广东省中山市溪角中学(528472) 杨蓓

教学模式是在一定教学思想或教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动结构框架和活动程序.虽教无定法，但教必有法，优秀的教学应该是由一系列科学的教学模式组合而成.这些教学模式适合于不同的教学目的，一经融合便形成了最具代表性的课程.

初中阶段关于式的概念和性质的教学内容具有整体性和连贯性的特点，在教法学法上具有相通性和可迁移性，如果能够借助一定的教学模式，不仅可以提高课堂教学效率，更有助于学生厘清数式之间、式式之间的关系.本文以人教版《二次根式》概念教学为例，阐述“数式渐进三段导学”教学模式及其在式的有关教学中的应用.

一、“数式渐进三段导学”教学模式中蕴含的教学思想

教学思想是教学模式的理论基础，是指导教学模式的理论核心.“数式渐进三段导学”教学模式的指导思想是：以培养数感为核心，以理解式的概念和法则为基础，以引导和探究式的教学方法为工具，在最近发展区理论的指导下从对数的理解发展到对式的认知，循序渐进开展教与学的活动.维果斯基最近发展区理论提出，教学要想对儿童的发展发挥主导和促进作用，就必须走在儿童发展的前面.因此教师在设计课堂教学之前须先确立学生发展的两种水平：一是已经达到的发展水平，二是可能达到的发展水平.以期通过课堂教学使学生跨越“最近发展区”达到更高的智力水平.“数式渐进三段导学”中的“数式渐进”即是从学生“已有的认知(数)出发”，遵循“学生的认知规律”，通过“教与学的活动”使学生获得“新的认知(式)”.

以《二次根式》的概念教学为例，学生在七年级下学期《实数》一章中，借助完全平方数、完全立方数，学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，学习了用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根的方法，以及用平方运算与开平方运算的互逆关系，求非负数的平方根和算术平方根的方法.由于在数学学习中存在个体差异性，加之符号“”对学生而言比较陌生和抽象，所以部分学生对“数的开方运算及符号表示”还有些模糊.因此本节课从生活中比较简单的求正方形纸板边长问题出发，让学生经历从生活中的问题抽象出数学问题的过程，再通过数和字母的变化，引出二次根式的概念，旨在以二次根式这一类典型的“式”为载体，引导学生进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，培养学生的符号意识、数感和运算能力.

二、“数式渐进三段导学”教学模式的教学目标

教学目标是指教学模式所能达到的教学结果，它是教学模式的运行方向.“数式渐进三段导学”教学模式的教学目标是：理解数式通性，感悟数学思想，积累数学活动经验，培养数感.

(一) 理解数式通性

二次根式并不是一个全新的概念，它是非负数的算术平方根概念的一般表示.为了帮助学生理解概念，教师找到概念的“生长点”(算术平方根)与“延伸点”(用字母表示数)，将二次根式的概念和学生学习、生活经验相结合，引导学生通过观察、分析、抽象概括，理解概念的内涵和外延及其体现的数学思想.把概念置于整体知识的体系中，引导学生处理好局部和整体的关系，厘清相关概念之间的区别和联系，感受数学的整体性，正确把握知识的结构和体系.

(二) 感悟数学思想

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.在二次根式概念教学中蕴含着丰富的数学思想.如：从生活情境到数学问题，体现数学抽象思想、模型思想和转化思想.从对数的研究到对式的研究体现数学抽象思想和从特殊到一般的思想方法.在解决问题的过程中，教师通过启发、引导、提炼，使学生对这些数学思想方法产生具体的理解和认识.

(三) 积累数学活动经验

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.需要在思考和解决问题的过程中积累沉淀.本节课教学内容的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，通过解决问题的方式引导学生体会运算在代数中的核心地位.如：在引入环节设计“从生活问题到数学问题”积累数学建模的经验.设计从数到式的变式练习积累数学抽象的经验.

(四) 培养数感

从数到式的过程是学生进一步理解数和数量关系，体会数式通性的过程，是用于培养数感的最佳时机.本节课从数的开方运算到式的开方运算，逐步引导学生体会式是表示数和数量关系的一种形式，用式表示数和数量关系更具一般性.类似的，单项式、多项式的概念教学可类比数的乘法和加法运算，分式的概念教学可类比数的除法和分数的概念.

三、“数式渐进三段导学”教学模式的操作程序

操作程序指教学在时间上展开的逻辑步骤以及每个步骤的主要做法.“数式渐进三段导学”教学模式的操作程序包括教师三段“导引”和学生同步“学习”.具体如下：

(一)“数式渐进三段导学”教学模式框图

(二) 以《二次根式》概念教学为例解读“数式渐进三段导学”教学模式

第一段：激趣-体验

本节课教师以校运会这个学生熟悉并喜爱的现实活动为背景，借助生活情境：校运会入场式中，初二(2)班的设计是将九张写着“我爱你二二班么么哒”的彩色卡纸贴在一块面积是3 平方米的正方形纸板上，你知道这个正方形纸板的边长是多少吗? 引出数学活动：已知正方形的面积求边长.激发学生的学习兴趣，营造轻松快乐的学习气氛.

教师的“激趣”体现在：选择学生有兴趣的生活情境，设计难度不大的问题，营造轻松快乐的学习气氛.

学生的“体验”体现在：主动参与解决问题、积极思考在解决问题中使用的数学思想方法、大胆表达.

第二段：驱动-生成

这一段是本节课的主体，细化为三步：第一步，观察-发现-归纳; 第二步，阅读-思考-讨论; 第三步，辨析-互动-建构.教师设计问题驱动学生探究思考，学生通过自主探究生成新知.

第一步：观察-发现-归纳

教师呈现被开方数分别是数、字母、单项式、多项式和分式的六个式子(二次根式)，引导学生观察、发现二次根式的特点，旨在通过对“数”的研究自然引出学生对“式”的思考.

教师的“驱动”体现在：1.抓准学生的最近发展区，设计问题：观察以上六个式子，它们有怎样的共同特征? 引导学生思考.2.根据学生的回答进行追问：能否用一个简单的符号表示“被开方数”? 引导学生进一步理解二次根式的被开方数在形式上可以是数、单独的字母或式子.

学生的“生成”体现在：初步感知六个式子的共性：1.含二次根号;2.被开方数是数、字母或式子;3.被开方数都是非负数.

第二步：阅读-思考-讨论

教师的教不能脱离教材，学生的学同样不能离开课本.所以“数式渐进三段导学”教学模式设计了阅读自学、问题思考、讨论交流环节用以培养学生的阅读、自学能力.

教师的“驱动”体现在：设计有梯度的问题引导学生阅读思考.

阅读问题设计：

问题1 下列各式中，一定是二次根式的是________.

问题2 如何判断一个式子是否是二次根式?

问题3 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义?

问题4 如何判断形如的式子有意义?

问题5 二次根式和算术平方根有什么联系和区别?

学生的“生成”体现在：通过阅读、思考、讨论、交流，形成对二次根式的认识，体会数式通性.

第三步：辨析-互动-建构

教师借助师生间的互动，生生间的互动，发现学生的理解误区，有针对性地讲解引导，突出教学重点，突破教学难点.

从算术平方根到二次根式，被开方数的形式发生变化，由原来的数，扩大到可以是数、字母或式子.其开方运算的本质并没有发生改变.理解了这一点，关于二次根式的学习则一通百通.所以这一环节的课堂处理是紧紧抓住二次根式的“形”和开方运算的“神”，引导学生深刻体会数式通性.

教师的“驱动”体现在：根据学生对以上五个问题的回答进行追问、启发、引导和鼓励.

学生的“生成”体现在：在解决问题的过程，明确二次根式概念的内涵和外延，建构新的知识结构.

第三段：提炼-应用

通过课堂小结培养学生梳理知识，归纳总结的习惯，可以提高课堂学习效率，从整体上把握知识之间的联系.

教师的“提炼”体现在：

1.归纳梳理，提炼数学思想方法.

2.设计备用题，供学有余力的班级或学生使用：

备用题1 面积为18cm2的长方形，长与宽之比为3 : 2，它的长是______，宽是______.

备用题2 面积为S的圆的半径是______.

备用题3 当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义.

备用题4 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义.

备用题5 当m______时，在实数范围内无意义.

备用题6 若则

前3 题是基础题，用于巩固学生对概念的理解.第4 题是易错题，被开方数是分式，要考虑分母不等于0 的情况.第5 题考查式子无意义的条件，提高学生思维灵活性.第6 题是拓展提高题，用于加深学生对被开方数是非负数的理解，发展思维技巧.

学生的“生成”体现在：

1.梳理本节课的知识和方法，生成新的知识结构.

2.应用新知解决问题，生成新的活动经验.

四、“数式渐进三段导学”教学模式中的师生作用

师生作用指完成教学目标互动主体的角色地位及关系.在教学过程中，教师和学生根据程序安排步骤，通过不同的组合方式，承担不同的角色，发挥各自的作用.“数式渐进三段导学”教学模式充分体现教师的主导作用，学生的主体作用.

主导的根本含义是“引导事物向某方面发展”.教师是学习的组织者、引导者与合作者.教师课堂上的主导即引导学生向着理解问题的方向发展，最终达到解决问题的目的.本节课教师的“主导”体现在教师在课前的教学设计，课上的精讲、精问，课后根据学生作业反馈的情况改进教学设计.

学习是学生认知结构的自我建构.学生是学习活动的主体，是主动的发现者、探索者; 学生是个体身心发展的主体，具有自主性、能动性、独特性等主体性品质;学生在教学过程中是主体化的客体，是由“教”到“不教”、由被动接受教育走向主动自我教育的主体.本节课学生的“主体”体现在课堂上的主动参与、主动思考、主动表达、主动建构.

从数到式是学生思维认知的一次重要飞跃，是学生进一步研究方程、不等式和函数等知识的基础.从数到式是从具体到抽象，从特殊到一般的数学思维提升过程.“数式渐进三段导学”教学模式作为结构框架，突出了教学模式从宏观上把握教学活动整体及各要素之间内部关系的功能，作为活动程序突出了教学模式的有序性和可操作性，适用于初中阶段与式有关的概念课及法则课.