大学先修微积分课程中如何提升数学核心素养*

广东省华南师范大学附属中学(510630) 周正华

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》(简称《意见》)颁布后，“核心素养”一词迅速成为热词.高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析.[1](以下简称“六核”).本文以华南师范大学附属中学(以下简称“华附”)大学先修微积分课程中“极限”章节的教学为例，依托核心素养的相关理论，提出在大学先修微积分课程中如何提升核心素养.

一．课程简介

华附从2014年起开设大学先修实验班(以下简称大先班)，迄今已经举办了四年之久，在此期间，共有两届(2017 届和2018 届)毕业生.第一届大先班共40 位同学，一个行政班，从第二届起，每届有两个班，共80 人，到目前，累计参与有超过360 位同学.在大先班的培养模式中，除国家必修课程外，还要求完成四门以上大学先修课程，其中，大学先修微积分(以下简称大先微积分)课程是重要的组成部分，也是参与学生最多、影响力最大的大学先修课程.华附的大先班所用教材是由高等教育出版社出版的《大学先修课程微积分》，主编是清华大学的扈志明老师.

从2014年起，华附成立大先微积分备课组，备课组成员全部是本校教师，同时也是大先班的数学任课教师，每个年级有两位教师，共四位教师.课程从高一第一个学期期中考试后开始，到高二下学期期末考试前完成，每周三个课时，时间是每周四下午三点二十分钟到五点二十分钟，共计约200个课时.这门课程主要是面向对数学学有余力，有兴趣、有能力、基础扎实的高中学生，目标是挖掘学生潜力，提高自学能力，培养学生的高等数学视野.

二．理论基础

核心素养是学生适应终身发展和社会需要的必备品格和关键能力，是国家立德树人教育目标的具体化，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀.已有研究包括核心素养的内涵、核心素养体系与教育的关系、核心素养的国际比较等多个方面.核心素养培养的着力点在“育人”，核心素养的培养和教学的变革紧密联系.高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析.[1](以下简称“六核”.)

三.实践过程

1.数学抽象：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.

例1 连续复利问题：正常计息情况下的最大利息?

如果将一年等分成n个计息周期，且前面的利息均不取出，让它获取新的利息，那么一年后我们得到的钱数是我们将分期n变得越来越大，一年后，我们得到的钱将如何变化呢? 我们假定r=0.05.

n 1 10 20 40 70 100 200...(y=1+r)nn 1.05 1.05114 1.05121 1.05124 1.05125 1.05126 1.05127...

从表中我们可以看出，随着n的不断增大，实际收益却趋近一个稳定值(约为1.0513)，那么这个稳定值和r=0.05有什么关系呢? 这里就联系到了无理数e.而这个过程中，舍去实际问题中的物理等属性，利用计息周期n和实际收益y的关系，得出当n →∞，y →稳定值1.0512，这个稳定值就是它的极限值.整个过程中利用了函数的对应关系，最终得出反应问题实质的极限的概念.而n →∞，y →1.0513 反应了极限概念的数学本质.如果进一步用无理数e的定义，就会发现e0.05≈1.0513，即无穷折现问题与无理数e的关系.

2.逻辑推理：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理和合情推理.

例2 从数列极限的定义到函数极限的定义

已知：若{an}是一个数列，A是一个常数.若对于任意的正数ϵ，总存在正整数N，使得对满足n＞N的所有n，都有|an-A|＜ε成立，则称A是数列{an}的极限.

在数列极限已经掌握的情况下，怎样定义函数在某一点处的极限呢?

数列{an}极限f(x)在x0 处的极限所有n 一切x存在正整数N 存在δ＞0n →+∞x →x0满足n＞N 的所有n 满足0＜|x-x0|＜δ 的所有x|an-a|＜ε|f(x)-A|＜ε

以上就是一个很经典的类比推理的过程.它完全符合核心素养定义逻辑推理的过程，而且对应关系明确，结论正确.

3.数学建模：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.

例3 无理数π的讨论

常数π是我们经常使用的，它是圆的周长与直径的比.但是，我学生对于的值又知道些什么呢? 这里，我们采用数学建模的思想，把一个圆均分成一些小扇形，用剪刀剪开，将小扇形颠倒交错摆放，这样我们就可以得到一个近似的矩形，如图1：

图1

当我们把圆等分成n等分时，我们得到圆的内接正2n+1边形的面积是：由二倍角公式可以依次算出得出n取某些值时Sn的结果，该结果逼近无理数π.

以上这个过程就是数学建模的过程，用圆的内接多边形的面积来表达问题，用三角函数的知识和逼近的思想来解释无理数π.

4.直观想象：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.

例4 极限

当x →0 时，sinx →0，这是一个型的极限问题.这里，借助几何直观来理解.

如图2：设圆的半径为1，当x ∈时，S△OAB＜S扇形OAB＜S△OAC，所 以从而即又由夹逼定理，得

图2

在中学数学中，数形结合的思想是非常重要的思想方法，在大先微积分课程中，同样可以借用几何图形进行直观想象，尤其在多元函数积分中，是解决各类问题的思维基础.

5.数学运算：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.数学运算是计算机解决问题的基础.在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

例5 计算极限

以上求解过程中，使用了中学阶段二次根式中的分母无理化和二次三项式的因式分解等方法，使得化简后的分子分母有公因式可以约分，从而将型转化成连续函数在x=2处的极限问题.

在中学阶段，数学运算是中学生最为重要的数学能力之一，也是教师们在平时教学中较难帮学生解决的问题，在大先微积分课程中，同样存在着很多对运算要求高的内容，例如求极限和积分的运算，通过这个内容的学习，可以起到提升中学生的数学运算能力.

6.数据分析：数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程.主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.

例6 从数值上理解

()n ()n n 1+1n 1+1n n 1 2 10 2.59374 2 2.25 100 2.70481 3 2.37037 1000 2.71692 4 2.44141 10000 2.71815 5 2.48832 100000 2.71827 6 2.52163 1000000 2.71828 7 2.5465 10000000 2.71828

四．小结

在大先微积分课程的学习中，还有很多课例同核心素养息息相关.学生通过一段时间的学习，不仅能了解高等数学的入门知识，还能在学习的过程中，不断提升自身的核心素养.作为一线教师，要进一步深化对核心素养的认识水平，不断提升自己的数学修养，同时还要加强大学微积分课程的再学习，准备好必须的知识储备.学生核心素养的培育依赖于教师对核心素养的理解程度.只有教师深刻理解了核心素养的内涵，才能将课程理念与教学实践深度融合，发挥核心素养在学科教育中整体育人的效果.要密切关注核心素养的理论研究，强调相关教育理论在大学先修课程设计中的专业先导和方向引领，加强其在教学实践中的应用.