基于核心素养的高考全国I卷概率与统计解答题分析与备考启示

广东汕头华侨中学(515000) 张应楷

广东省东莞市麻涌中学(523000) 骆妃景

广东省汕头市澄海华侨中学(515800) 潘敬贞

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出六大数学核心素养，包括数学运算、数据分析、直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学建模等.因此，有关“如何落实数学学科核心素养，发展学生数学核心素养水平”便成为当前数学教学研究的一个热点问题.概率与统计解答题是高考全国卷多年来重点考查的内容，是考查学生数据分析、数学运算、数学建模等核心素养的最佳素材.近三年高考全国I 卷理科数学概率与统计解答题背景源自生活实际，体现数学应用，广大考生对试题背景熟悉，体现试题的公平性，设问新颖，有一定的综合性与创新性，试题的解答综合考查学生通过审题有效提取信息的能力、数据处理能力、抽象概括能力、推理论证能力、数学建模能力以及运算求解能力等.2018年高考全国I 卷理科数学概率与统计解答题排在试卷第20 题的位置，成为次压轴题，因此本题值得我们研究思考.本文着重从数学核心素养的视角对该题进行思考分析，希望能够为广大一线教师抛砖引玉.

2 试题分析

2.1 试题再现

试题(2018年全国高考I 卷理科数学第20 题)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格产品，则变换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1) 记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.

(2) 现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0作为p值，已知每件产品的检验费用2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用.

(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验?

2.2 基于核心素养的试题分析

2.2.1 考查思路分析

该试题以广大考生熟悉的产品是否合格抽样检验，统计决策问题为背景，着重考查概率与统计概念本质的理解，考查数学应用与创新意识.试题结合函数与导数知识，通过研究概率统计学在生产实践中的应用，考查学生审题整理数据、提取有效信息、构建模型、逻辑推断、获取结论的数据分析过程与能力，从而达到考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模等数学学科核心素养.

该试题通过运用n次独立重复试验基本概念，n次独立重复试验恰有k次发生的概率计算公式，二项分布及其数学期望计算等基础知识，对试题中的条件“如检验出不合格产品，则变换为合格品”，“设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立”，“已知每件产品的检验费用2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用”进行数据分析、信息整合、逻辑推理，找到问题解决的突破点，体现了试题对学生数据分析、逻辑推理核心素养的考查.通过“现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0作为p值”这一条件，抽象数学问题准确识别二项分布概率分布模型Y ∼B(180,0.1)，运用数学期望的线性运算EX=E(40+25Y)求随机变量X的期望值，体现了试题对数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养的考查.通过构建超过三次的多项式函数模型f(p)=(1-p)18，运用导数知识求最大值点，体现了试题对学生数学建模、数学运算核心素养的考查.另外试题最后一问通过获取的结论进行数据分析，逻辑推断决策，体现了试题对学生数据分析、逻辑推理核心素养，统计决策思维的考查.

2.2.2 解答思路分析

依据数据分析，信息整合，逻辑推理，第一问由“从这箱产品中任取20 件作检验，每件产品为不合格品的概率都为p”，结合n次独立重复试验恰有k次发生的概率计算公式即可求出20 件产品中恰有2 件不合格品的概率f(p)=(1-p)18，并对f(p)求导，运用导数知识求最大值点的方法，即可求出f(p)的最大值点p0，并注意p的取值范围.

第二问由“现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0作为p值”获取第一问结论，运用二项分布期望值求解公式求出检验费用与赔偿费用和的期望值并进行决策判断，设余下的180 件产品中不合格品的件数为Y，则Y服用二项分布Y ∼B(180,0.1)，运用二项分布的期望计算公式求出EY，进而通过Y与X的线性关系X=25Y+4，数学期望的线性运算EX=E(40+25Y)求出EX.求出检验余下所有产品的总费用，再与EX比较，即可进行决策判断，为生产提供理论依据.

2.2.3 解答过程

解析(1) 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f(p)=(1- p)18.因此f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=(1- p)17(1-10p).令f′(p)=0，得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时，f′(p)＞0;当p ∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.即f(p)在(0,0.1)上是增函数，在(0.1,1)上是减函数.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2) 由(1)知，p=0.1.

(i) 令Y表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y ∼B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii) 如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.由于EX＞400，故应该对余下的产品作做检验.

3 2019年高考概率统计备考启示

3.1 把握高考向与命题命脉

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复习备考中要研究真题，把握高考考向与命题命脉.通过对近三年高考全国I 卷理科数学概率与统计解答题的试题背景、命题角度、问题解决的突破点对比分析，高考全国卷对概率与统计内容的考查经历了由偏重概率，到概率与统计结合，到偏重统计，试题背景源于实际，背景公平，重点是产品检验，为生产提供理论依据.从命题角度来看，试题侧重考查统计规律，并通过随机现象联系概率，对样本数据的频率(概率)及其分布进行考查，不仅能很好地考查学生对概率与统计本质的理解，也能很好地突出学生数据分析、数学建模等能力的考查.因此，概率教学要立足随机试验，突出随机现象规律的把握，重点是随机变量，概率模型是关键;统计教学要体现统计的过程，突出统计思想，重点是统计案例，统计模型是关键.

3.2 关注考纲考点的变化，注重概率统计与其他知识的综合性练习

命题专家教育理念先进，博学多闻，专业知识深厚，往往能命制出契合课程改革精神，源于教材高于教材，生活实际背景下的概率与统计解答题.近三年高考全国I 卷理科数学概率与统计解答题考查的知识点比较不稳定，每年都有变化，甚至会考查教材中边角冷门的知识，弱化计数问题，以往考查的求随机变量的分布列、方差与期望、频率分布直方图、样本数字特征等套路题不再是热门主角.近几年试题基本上都是结合生产决策问题，侧重数据分析处理，统计思想，突出应用、创新意识，还会在概率与统计内容与其他知识交汇处设置做文章.例如2018年的高考全国I 卷概率与统计解答题与函数导数内容综合考查，2016年的试题与不等式交融考查.因此在复习备考中要注重概率与统计内容与其他知识，比如不等式、函数、导数等综合性练习，强化知识之间的关联与融合，举一反三，提高学生灵活运用知识分析解决问题与解决问题的能力，培养学生数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养.

3.3 关注问题情境，重视概念本质的理解

近三年高考全国I 卷概率统计解答题虽然试题千变万化，字符数多，信息量大，难度较大，但还是紧扣教材，考查概率统计的基础知识、基本方法和基本原理.因此在复习备考中要以教材为蓝本，紧扣考纲，重视基本概念本质的教学，让学生了解概念的念来龙去脉.对一些核心概念要贯穿高中数学教学始终，例如2016年高考全国I 卷理科数学解答题中的频数、频率、柱状图，2017年试题中的正态分布，2018年试题中的二项分布等概念都是高考中常考的核心概念，将核心概念置于合适的情境中，用合适的问题情境帮助学生逐步理解，引导学生经历具体的问题情境抽象数学概念的全过程，充分挖掘概念的内涵及外延，然后使学生在初步的运用中逐步理解概念的本质.合适的问题情境不但能够让学生把数学与实际生活紧密联系起来，增强应用意识，而且它是培养学生数学核心素养的绝佳载体，促进学生数学素养的提升.在学生理解数学基本概念后，要引导学生构建知识脉络，概率统计中的有关概念可用三条主线串联起来.

主线I：统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断

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主线II：随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型

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主线III：随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布→分布模型

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在帮助学生理解概念本质，构建知识脉络的基础上，教师还要通过教材中的典型例题、习题引导学生进行重点练习，让学生充分经历数据分析、处理的全过程，在此过程中学习数据分析、处理的方法，理解逻辑推理、数学抽象、数学建模的思路，运用所学的知识与方法解决生活实际问题，为生产决策提供理论依据，提高学生应对试题创新变化，看破迷雾，抓住本质的能力，培养学生数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算核心素养.

3.4 重视思想方法教学，渗透模型化思想

概率与统计内容中蕴藏着丰富的数学思想方法，例如化归转化，数形结合，分类讨论等，也有概率统计中特有的抽样思想，随机变量思想，大数定律思想等，因此在复习备考中要重视思想方法的教学，尤其是核心素养的培养.随着新一轮课程改革，对数学学科六大核心素养的界定，高考试题将以核心素养立意.近三年高考全国I 卷理科数学概率与统计解答题情境设置贴近生活实际，主要考查数学基本思想，发展学生数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养为目标，体现了新一轮课程改革中加强数学的实践性、应用性的特点.然而学生的得分情况都不理想，甚至连试题都看不懂，使得学生谈起概率与统计解答题心中便产生恐惧心理，其主要原因是学生对概率统计的概念本质缺乏透彻的理解，对数学思想方法理解的不够透彻，数据分析处理能力欠佳，数学抽象能力不足，数学建模意识不强，“恐于抽象推理，怕于建模应用”是当前学生面对高考全国卷概率统计解答题的普遍心理现象.在复习备考中教师要通过渗透模型化思想，培养学生核心素养，发展数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模能力.例如高考常考的两类最基本的离散型随机变量服从分布的二项分布、超几何分布与正态分布，教师应该通过具体的实例，让学生经历问题解决的过程真切感悟超三者的异同点，倘若试题中给出一个随机变量，则先考虑其是否服用二项分布、超几何分布、或正态分布，或者其他的分布，倘若是两个随机变量，则要判断该研究独立性检验问题还是线性相关问题，进而培养学生抽象问题正确识别概率分布模型的能力，增强模型意识.比如2018年高考全国I卷理科数学解答题中学生得通过“现对一箱产品检验了20件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0作为p值”这一条件快速准确识别出该箱余下的180 件产品中不合格品的件数服用二项分布.

3.5 注重语言表述的规范性

高考概率与统计解答题主要考查数学应用问题，往往需先将情境问题抽象为数学模型，再对数学模型进行数据分析、处理，逻辑推理得到数学结论，再运用数学结论回答实际问题.中间必然缺少不了数学语言与自然语言的互译转化.因此在复习备考中要重视重视解题格式的训练，做到文字符号要准确，语言表述要规范，逻辑推理要严谨清晰.在平时的教学中教师要适当示范解题过程，并强调学生解题格式书写的易错易漏等不规范的地方.例如求离散型随机变量的分布列时，先要写出随机变量的所有可能取值，再求出随机变量的每个取值对应的概率，并且要列式写出过程，最后列表写出随机变量的分布列，最后检验各列的概率之和是否等于1.这样规范步骤作答，辅以相应的文字说明，将会有效提高概率统计题的得分率.又比如2018年试题解答中有部分考生直接写出X的数学期望EX=40+180××25=490，没有表述二项分布，这样书写不但不规范，而且依据不充分，逻辑不清晰，思维不严谨，导致失分.

3.6 加强数据处理能力与数学运算能力的培养

近三年全国I 卷理科数学概率与统计解答题字符数多，条件繁琐复杂，有文字阅读，也有数学统计图表阅读，突出阅读与数据处理，信息整合能力考查.因此在复习备考时要结合典型实例，给学生充分阅读，再让学生表述，分析条件，发展学生数据处理核心素养.概率统计解答题对学生运算综合能力要求也比较高，其实不仅仅是概率统计内容，其他内容学生也有因计算错误失分的现象.这种因计算错误失分，看似偶然，其实不然，问题的根症就在平时不重视数学运算能力的培养.因此在复习备考中一方面要引导学生学会相应的运算方法，另一方面要让学生经历运算的全过程，培养数学运算核心素养，养成细致耐心的良好计算习惯.如2018年高考全国I 卷理科数学概率统计解答题中求导得式子比较长，一不小心就会出错.

3.7 精选备考素材，落实核心素养

在复习备考过程中，概率与统计解答题的备考选材质量直接体现一个教师对高考的理解水平，直接影响着备考的质量.因此，备考选材就显得非常关键，在选材时需要注意五个问题，第一是要真题引领，试题所研究的最好是统计问题，加强学生对统计的认识，内化统计思想，即局部(样本)推断整体(总体).第二是不要拘泥于只研究概率与统计内容中的某个具体的知识点或统计过程中的某个局部问题，否则会影响学生对收集数据、整理数据、分析数据、统计推断等统计过程的理解.第三是不要因为概率与统计解答题的解答对运算求解能力有较高的要求而误认为概率与统计解答题是“套公式”，忽视对统计过程的理解而过度机械计算的训练(计算并非是统计的主要内容，只是获取数据或得到模型而采取的一种手段而已)，如此的备考思想将会偏离概率与统计的核心，学生也不能很好的体会统计过程，更不能理解随机思想和统计思想.第四是所选的素材一定源于实际生活，因为不真实的随机案例会影响了随机思想和统计思想的形成，不能立足思想层面.第五是重视典型案例的分析研究，建议选取产品检验或抽象背景的试题，要全过程透彻的研究，以及变式训练等.只有这样方可真正实现精准备考，提升学生数学综合能力，发展学生核心素养水平.