以学定教：“倍的认识”前概念调查与教学实践

潘慧敏

摘  要：文章采用问卷调查的方式，调查和分析学生对“倍”概念的前认知状态。调查的方法是，选取任教的A班作为实验组，B班作为对照组。两班测试内容相同，A班学生直接独立完成调查问卷，B班学生则在测试前先自学“倍的认识”导学例题，再独立完成调查问卷。在对两班的测试结果进行对比分析后，结合教学实践，提出若干教学建议。

关键词：倍;前概念;对比分析;教学建议

事实告诉我们，学生在学习新的数学概念之前，脑里并非一片空白。通过日常生活的活动经验，学生对许多数学概念已经形成了初步的认识和观念，建构了大量朴素的“前概念”。也就是说，学生数学概念的学习，总是建立在“前概念”的基础之上。因此在设计“倍的认识”教学活动前，笔者采用问卷调查的方式，调查和分析学生对“倍”的概念的前认知状态，以此设计出更加合理、更加有效的教学流程，提高课堂教学的有效性。

[?]一、“前概念”的设计与调查

1. 调查题的设计与意图

调查题1：你知道算式“2×3”的含义吗？能不能画图表示出来？

调查题2：圈一圈，填一填。

○  ○  ○  ○  ○  ○

（1）如果把2个圆圈成一份，6个圆里有这样的（    ）份，请你圈一圈。

○  ○  ○  ○  ○  ○

（2）还可以把（    ）个圆圈成一份，6个圆里有这样的（    ）份，请你圈一圈。

设计意图：“倍”是由两个数量相比较而产生的，是两个量比较的结果，即以一个量为标准，另一个量有这样相同的几份就是它的几倍。可见，“1份数”在“倍的认识”中具有重要性与关键性。只要“1份的个数”确定了，另一个量就是这样的几个几。因此，沟通“倍”与“几个几”“份”之间的联系是掌握“倍”这一概念的关键。鉴于此，笔者在前测问卷中设计了题1、题2两题。

2. 调查的对象与组织

在测试内容不变的前提下，如何有效组织A、B两个班调查，全面、准确地把握学生学习的起点和困难呢？笔者试想，如果测试前，组织B班的学生在测试前先自学“倍的认识”导学例题，再独立完成调查问卷。是否可以真实地检测出学生在经历自主构建“倍”的概念过程中显现的认知状况？构建“倍”概念时学生的认识节点、难点在哪里？由此，参照人教版教材中“倍的认识”例题编排，笔者设计了一份如图2所示的导学例题。在组织调查时，为了减少调查变量（如教师性别、教学风格等），笔者选取自己任教的A班作为实验组，B班作为对照组。B班学生在测试前，先由笔者带领他们阅读导学例题，再在规定的时间内独立解答。整个测试过程真实反映了全体学生对“倍”的概念的认知状态。

[?]二、“前概念”调查情况的分类与分析

1. 调查题1的分析

从统计结果来看（见表1），两班都有95%左右的学生能够根据自己的理解画出乘法的含义。其中有20%左右的学生给出了两种画法，达到对乘法意义的深入理解。

2. 调查题2的分析

调查结果显示（见表2），两班除了个别学生在第二问中出现文字表证错误，其余都能通过圈一圈的方式直接在图上进行平均分，并能用数学语言对自己平均分的过程和结果进行正确地表述。可见，多数学生对除法意义有较好的理解。另外，从两班学生在第二问中展现的分法来看，全体学生不谋而合地给出了“每3个圈一份”的分法。其中没有一位学生想到“每6个圈一份”或“每1个圈一份”这样较为特殊的分法。顯然，学生没有将整体或者单个作为一份的意识。

3. 调查题3的分析

（1）（见表3）A班约有30%的学生写出苹果与桃子这两个数量的相差关系，而能用“倍”来表述它们关系的学生只有15.9%。与之形成鲜明对比的是，B班中有62%的学生能够用“倍”正确表述它们的关系，大约是A班的4倍。由此可见，自学例题对学生用“倍”表述关系起到了积极的促进作用。从中也可以看到，A班更多的学生关注的是苹果比桃子多出的部分，头脑中建构的是“加法结构”;而B班学生由于自学导学例题有效地进行了正迁移，更多关注的是一个量（比较量）里包含了几个另一个量（标准量），头脑中初步建构起“乘法结构”。

（2）（见表4）两班都有学生写出“3倍”这一倍量关系，特别是B班，占全体学生的16%。究其原因，这类学生受到已有经验“比多少”的影响，关注的是苹果比桃子多出的部分，即把2个桃子看作一份，多出的部分是由几个“一份”组成的就是几倍。虽然倍量关系表述错误，但不能否认，这类学生具有“份”的概念。

4. 调查题4的分析（见表5）

（1）A班中有45%左右的学生能够画图表示□和○的倍数关系，而B班则比它多出了近30个百分点。其中A、B两班分别有15.9%、22%的学生给出多种画法，直观地反映了□的个数随着○的个数的变化而变化。

（2）两班都有学生出现类似类型三的错误，在画图表示关系时，还是关注多出的部分。有的学生认为“3倍”就是多出3个。可以看出，这些学生不仅没有“份”的概念，而且不具备对“份”的正确理解。此外，个别学生不能清楚确定谁多谁少，“比率”关系不清晰。

总之，从两班学生在前测调查中所呈现的情况来看，多数学生对乘、除法意义有比较好的理解，为理解“倍”的概念做好了基础准备。其中从A班学生的前测结果可以看出，在学习“倍”之前，少部分学生具备初步的倍数概念，更多的学生对“倍数”概念的内涵和外延是模糊的、不精确的;而从B班学生的前测结果可以看到，自学导学例题所带来的学习效果是显著的。不少学生能对两个数量的倍数关系进行文字表征和图形表征，达到对“倍”的概念的初步理解。