以圆为马，量数学尺寸

陈庆红

摘要：从浙江丽水市近九年中考数学中所出的关于圆的试题出发，分析试题的类型和出题方式，并结合课标与考试要求考查主要考点。展示了学生的典型解法，简析学生暴露出来的问题：一是学生对圆的相关知识只是停留在表面，没有理解渗透;二是对问题的解决比较单一，不能举一反三。简析上述要素，旨在帮助教师明确教学方向，提高教学效果。

关键词：圆;试题研究;典型问题

教师是教学的引导者，数学教师如何呈现教学内容，如何设计证明方式、展示解题过程，关系到学生对知识的掌握和能力的培养。教师在设计课堂教学时应该吃透课标与考试要求，掌握对学生知识和能力所提出的教学目标;通过分析考试题目，尤其是中考这类大型考试中相关题型的呈现和变化，结合平常习题训练或考试中学生的典型解法，及时调整教学策略，推动学生对数学知识的理解和把握，使学生理清解题思路，提高解题能力，培养数学思维。

一、“圆”来如此——概况分析

（一）圆的出题类型和出题方式

从分值来看，在近九年丽水数学中考试卷中，圆的试题分值一直比较稳定。除了2011年出了两道解答题，分值达到了23分外，其余年份圆的试题分值一直保持在12分左右。可见，圆这一块知识点属于丽水中考常考的内容，学生应该重点把握。

从题目设置来讲，近九年来，丽水中考数学圆的知识每年都有一道选择或填空题、一道解答题。总体来看，考试所涉及的知识点较为常规，并且强调数学的实用性。如2010年选择题第9题、2013年第8题、2018年第16题、2019年第14题分别以小丑帽子、排水管、弓箭和简易测倾仪设立解题背景，引导学生在生活情境中调动所学的关于圆的知识解决问题。填空题和选择题所考查的圆的知识比较明确，学生只需要从具体情境中分辨出考查的知识点，就能解决问题。解答题的知识点难度略有提升，但仍处于中档水平。比如，解答题的常考知识点有切线性质、垂径定理、等腰三角形的性质和判定、圆周角推论。除了以上常考知识，2013年解答题考查了弧长计算，2014年考查了中位线定理，2015年考查了弓形面积的计算以及互余性质，2017年、2018年考查了勾股定理。考查的知识点的翻新和变化，一定程度上给学生带来了解题困难，但在能力层级上仍然是稳定不变的：要求学生综合运用学过的性质和定理来解题，考查学生的数学运用能力。

（二）圆的主要考点

1.课标分析。根据2011年课程标准中提到的关于圆的课程内容，在九上学段，学生接触到的概念有圆、弧、弦、圆心角、圆周角、三角形的内心和外心等。学生需要掌握这些概念及其性质，了解它们之间的相互关系。学生需要学习的定理有垂径定理、圆周角定理及其推论。此外，学生还要进行弧长、扇形面积的计算;了解正多边形及正多边形与圆的关系。在九下学段，学生要把握切线的性质和切线长的定理，理解切线与过切点的半径的关系。

《义务教育数学课程标准（2011年）》还将“探索并证明垂径定理”“探索切线长定理”列在了选学内容里，这主要是出于控制考试难度的考虑，同时又能为学有余力的学生提供进一步学习的空间。

九上和九下分别要求学生掌握点与圆、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形”与“数”的内在联系，渗透了数形思想。

2.考试要求分析。仔细的教师会发现，考纲中的要求更细致地对课程标准内容做了逐条解释。历年试题在考查学生掌握的圆的基本知识时，也考查学生运用这些知识的技能和能力。以课标中“知道三角形的内心和外心”这一条为例，考试要求提出了更为详细的方向，不仅要求学生知道三角形内心、外心的性质，在能力方面还要求学生能够根据两者的性质解决简单的几何问题。由此看来，考试要求将课程内容与课程标准中提出的知识技能、数学思考、问题解决等目标结合起来，充分体现了课程标准的理念以及中考试题的基础性和创新性。

3.对题分析。从近九年丽水中考数学试题看，关于圆的解答题紧扣课程标准的课程内容，在形式上、结构上、知识点和难度上都相对稳定。比如，小问题的数量为两到三个，让学生从题目的已知条件出发，逐步推理得出结论。这些试题以课程标准中圆的课程内容为基础，结合考试要求中对学生能力的具体要求，让学生在掌握这些知识点的基础上，运用圆的相关定理，通过分析、综合、推理等数学思维方法解决问题。由此可知，关于圆的解答题不是单纯考查学生对知识点的记忆，而是知识与技能的双重考量。

在保持稳定的同时，近九年丽水中考数学关于圆的解答题也稳中有变。从九年级试题可以看出来，将不同的知识点融合起来，在考查学生对基本知识的掌握情况的同时，也更加注重考查学生的数学应用能力，对学生解题思路的清晰性提出了更高要求。

二、“圆”木求鱼——典型问题

学生在考试中出现的问题主要有两方面，一是基于圆的基础知识的求解，学生存在证明或计算思路不清、对于概念和定理的适用对象也把握得不够清楚的问题;二是学生证明的方法比较单一，无法找出更加简便的方法来。

（一）基于圆的基础知识的求解，学生存在证明或计算思路不清的状况。

如图1，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD= AB，AD，BC的延长线相交于点E。

求证：AD是半圆O的切线。

下面是学生典型解法：

解：∵切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

又∵AD= AB，且D在圆上

∴AD是半圆O的切线

该题的正确解题思路是分别连接OD、AO作两条辅助线，证明△AOB和△AOD全等，然后說明∠ADO为90度，证明OD⊥AD，利用切线性质证明AD是半圆O的切线。

稍微分析一下学生典型解法，就能发现，学生没有真正弄清楚切线长的定理。切线长的定理要成立的条件是过圆外一点所画的两条线已经是圆的切线，虽然结合过圆外一点只能作两条切线这一理由可以推出求证的结论，但这毕竟不是题上所要考查的内容。由典型解法可以看出，学生对于切线长定理的适用条件和范围把握不够充分，思考题目时也不能迅速地想到应该使用切线性质求证。由此看来，学生对于数学基础知识的把握仍然不够牢靠，虽然能够记住概念、性质和定理，但对于这些知识的适用条件没有深刻的体会，在具体情境下充分暴露了应用短板。

（二）学生对于需要结合圆与不规则形状面积计算的题容易找不到思路

如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F。

（1）（略）

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积。

第二个小问，很多学生容易找不算阴影面积的思路。也有学生在作了过OE的辅助线后，找到了正确思路，尝试通过利用扇形AOE的面积去减△AOE得出剩余的阴影部分的面积。通过互余性质证到∠A为45度，进而求出△AOE的面积，但在最后关头却弄混了扇形的弧长和面积公式，從而算出错误的答案。这一题暴露了学生在打开思路方面存在问题，不擅于从整体把握局部，从局部走向整体，在分析和综合能力方面有欠缺;学生容易弄混相似的公式，区分不开公式适用的对象。

三、“圆”原非圆——教学启示

（一）基础知识的教学

对圆的基本性质和定理的掌握是解题的前提。这种掌握不只在于知识的理解和记忆方面，也在于知识的灵活运用方面。在今后的教学中，教师在讲授基本性质和定理时，就应该以知识的实际应用为目标和导向，做好学情预测，强调知识的适用和隐含条件。此外，在遇到容易弄混的知识点时，要着重强调出来，帮助学生区分。

（二）解题思路的探索

每种类型的数学题都可以用到不同的思维方式。在圆的证明试题中，主要可以运用分析、综合等思维方法，在具体解题过程中，合情推理和演绎推理也是重要的解题思维。教师在讲解分析这一类型的题目时，应该更加重视思考步骤的呈现，以及思考方法的点拨，逐渐培养起学生在解题过程中审视自己在哪一步用到什么数学思想方法的习惯;教学生大胆猜测、合情推理题目所考查的知识点，根据已知条件、图形、结论或者假设的考查知识点作出演绎推理，在试错与纠正的良性循环中培养学生灵活的解题思维，做到“一题多证，一题多变”;帮助学生理清解题思路，使证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。

总而言之，丽水中考数学中关于圆的试题体现了对学生知识和技能的双重考查。在今后的教学中，教师要更加注重以课标和考试要求为导向，以试题研究为突破口，调整教学策略和手段，全面提高学生对圆的基础知识的掌握和运用知识探究问题的能力。

参考文献：

[1]朱建明.数学课程标准下的中考研究[D].南京：南京师范大学，2005.

[2]单友健.初中数学“教材重构”策略分析：以人教版“圆”的教学为例[J].中学数学，2019（2）.

[3]韩朋.浅议初中数学圆的基本性质的复习[J].科技视界，2018（3）.

（责任编辑：韩晓洁）