探讨抽象代数中“群的定义”的教学过程

王新甜

【摘 要】本文根据笔者在抽象代数课程中的教学体会，对群的定义这一节的教学方法进行一些探讨，尝试从学生熟悉的群的例子出发，引导学生归纳总结出群的定义，再列举一些简单常见的例子让学生进行验证以加深理解，最后再进一步扩充实例揭示概念的本质。

【关键词】抽象代数;群的定义;数学教学

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）34-0014-02

1   引言

抽象代数又名近世代数，是研究群、环、域等代数系统的学科。抽象代数是大学数学专业的一门专业必修课，也是代数数论、代数拓扑等课程的一门基础课程。另外，抽象代数在现代物理学、现代化学、编码密码学和通信领域有着重要的应用[1]。

该课程一方面由于概念多、理论性强、内容抽象， 所以学生往往感到抽象难懂;另一方面，教师在教学中也存在直接用“定义、定理、证明”的模式进行教学，影响了教学效果。近年来，国内众多学者和教育工作者都对这门课的教学提出了自己的设想[2]。

群是Galois在解决五次或五次以上一般方程的根式解的问题时引入的[3]。群在抽象代数中具有重要地位，许多代數结构，如环和域都可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理得到的，并且群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。因此，对群的概念的学习和理解是非常重要的。本文根据笔者在抽象代数课程中的教学体会，对群的定义这一节的教学过程提出一些见解。

2   “群的定义”教学过程

群的概念相对高等代数课程中的内容，要抽象得多。学生在第一次学习时一般难以接受和理解这样抽象、公理化的定义[4]。因此，笔者尝试从学生熟悉的群的例子出发，引导学生归纳总结出群的定义，再例举一些简单常见的例子让学生进行验证以加深理解，最后再进一步扩充实例揭示概念的本质。笔者首先从熟悉的整数集出发，引导学生归纳总结出整数集关于加法运算有下面三个性质，这三个性质分别对应群的定义中的三个条件。

强调定义中的三个性质与引例中相对应，这里的代数运算是学生熟悉的数的运算的推广，把群上的这个代数运算一般称为乘法，（2）中的元称为的一个单位元（或幺元），（3）中的元称为的逆元。因此，群通俗地说就是定义了代数运算的集合，满足结合律、存在单位元及存在逆元。

接着引导学生验证下面的这些例子，并说明之前学过的很多代数对象，如数集、矩阵、向量空间等关于相应的代数运算都是群。

例子1引例中Z关于加法是一个群，类似地有理数集Q（或实数集R，复数集C）关于加法都是群。

引导学生思考Z关于减法或者乘法是不是群。

例子2令表示非零有理数全体，则关于乘法是一个群，同理，关于乘法也都是群。

例子3设是数域K上的维向量空间，则中的向量全体关于向量的加法是一个群。

例子4设表示数域K上阶可逆矩阵全体构成的集合，则关于矩阵的乘法是一个群，称为数域K上的阶一般线性群。最后，让学生思考下面这样一个例子。

例子5假设有一个正方形，顶点按顺时针分别标号为1，2，3，4。现在旋转或翻转正方形，从左上角开始按顺时针方向可读出不同的数字排列，用一个数来表示，其中第一行和第二行分别表示变换前和变换后的数字排

对抽象代数课的教学如何才能提高学生的主动性、积极性是值得每一个抽象代数课任课教师深思的问题。从实践中看到，从熟悉的例子出发归纳出抽象的定义，再回归到实例，可以有效地激发学生的兴趣和帮助学生更好的理解这些抽象的定义。

【参考文献】

[1]张禾瑞.近世代数基础（修订本）[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]姚慕生.抽象代数学（第二版）[M].上海：复旦大学出版社，2005.

[3]聂灵沼，丁石孙，等.代数学引论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]刘绍学.近世代数基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2012.