随机变量数字特征的教学探析

任泽民 李庆玉 黎彬

【摘 要】随机变量的数字特征是概率论与数理统计课程中重要的基础内容，主要包括数学期望、方差、协方差和相关系数等。为了提高学生对此部分内容的学习效果，笔者梳理了部分在教学过程中使用的技巧，给出了学生难以理解的三组对照关系，主要包括：连续和离散、期望和方差、一维和高维等。这样的对照有助于学生掌握相应知识点的连贯性。

【关键词】概率论;随机变量;数字特征;期望与方差

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）34-0025-02

概率论是理工和财经专业的重要公共基础课程，在学生的培养方案中具有重要的作用。不同的章节，学生对内容的理解程度不同。为此，许多教师在教学过程中提出了各种教学思考[1，2]。笔者以数字特征是表征随机变量特性的重要依据为对象进行分析[3，4]。这些数字特征主要包括数学期望、数学方差、协方差和相关系数等。在课堂教学中，学生对此部分内容掌握不是很好，尤其是连续和多维的数字特征。针对此现状，笔者将阐述课程中比较重要的三组对照关系，主要包括连续和离散、期望和方差、一维和高维。这三组对照关系有助于学生消化此部分内容。

2   随机变量的数学期望和方差

随机变量的期望是反映变量平均取值的一个量。方差是用来体现变量取值分散程度的一个量。在教学中发现，学生对期望的理解尚可，但对方差的掌握仅仅存在于表面。

为此，笔者重点论述期望和方差之间的关系。随机变量与均值的偏离程度通常可以利用或来刻画。方差可用这种偏离程度的均值表示，依据期望的意义其可以表示为。方差越小指代变量比较集中在均值附近，方差越大指代变量取值越分散。

从这个层面上看，随机变量的方差本质上来源于数学期望。因而，期望的一些重要性质和计算公式在方差的计算中可以使用。故在教学过程中应提醒学生注意期望和方差彼此之间的概念联系，如方差的计算公式的推导。

在这个推导中，用到了许多期望基本性质，主要有：①数学期望本质上是一个常数，而常数的数学期望是其本身，即;②随机变量的常數倍的期望等于变量期望的常数倍，即;③随机变量和的数学期望等于期望之和。方差的计算公式可简记为方差等于平方的期望减期望的平方，其计算需借助期望，即需要首先算出本身的期望，同时计算出平方的期望。

例1 离散型随机变量的分布律见表1，尝试计算变量的方差。

解 按照上述的公式分别计算变量和的期望，而后计算出：

3   一维和高维随机变量的数字特征

一维随机变量数字特征在理解和直观想象上相对比较容易。但学生对高维随机变量数字特征的掌握相对比较难。为此，应完成一维到高维的完美过度。在讨论高维变量每个分量的期望和方差时，方法与一维相似。除了讨论期望和方差外，还需考察反映分量间联系的数字特征，如随机变量间的协方差和相关系数。

例2 已知函数为二维随机变量的概率密度，计算期望、方差、协方差和相关系数等数字特征，并判断两个变量是否相互独立。

4   结束语

在随机变量数字特征这一章节中，各数字特征是相对独立的概念，但又交织在一起。为了知识的贯通性，学生在学习过程应注重彼此间的联系。本文给出了三组对照关系，希望可以帮助学生理解这部分的内容。

【参考文献】

[1]马学思，李明.《概率论与数理统计》的教学改革[J].统计与决策，2011（13）.

[2]邓华玲，傅丽芳，孟军，等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004（1）.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2018.

[4]吴翊，汪文浩，杨文强.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2016.

【作者简介】

任泽民（1985～），男，汉族，山东枣庄人，博士，副教授，研究方向：计算数学与人工智能。