破解“逐差法”和“临差法”的争议

肖学锋

【摘 要】利用打点计时器打出一条纸带上记录的数据，求拖动纸带的物体的加速度是高中物理测试中一个常考的问题。然而，大多数出题者一味地强调用逐差法求加速度才是正确的解法，总是排斥临差法求加速度的方法。本文用理想实验方法寻求两种解法结果与真值之间的关系，从而破解两者之争议。

【关键词】逐差法;临差法;理想实验;有效数字位数

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）34-0104-03

某小组利用打点计时器对小车沿倾斜的长木板加速下滑时的运动进行研究。小车拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图1所示。其中0、1、2、3、4、5、6为计数点，已知打下两计数点的时间间隔为T，并测出相邻两计数点之间的距离分别为s1、s2、s3、s4、s5、s6，则小车下滑的加速度a=___________（结果用题中已知量和测量表示）。

标准答案是，但也有相当多的同学答案是。教师改卷时往往只给标准答案的分数，后一种不给分或扣一定的分。其理由是标准答案中的表达式包含了已知测量中所有的数据，故标准答案更接近真实值。但有一部分教师也提出异议，认为后一种答案也应给满分，可难以说服持有标准答案观点者。本文从以下几个方面解决此争议。

1   来源于同一原理的两种求法得到的表达式不应有优劣之分

（1）逐差法：设物体做匀加速运动，加速度是，在各个连续相等的时间T里的位移分别是s1、s2、s3、s4、s5、s6，则有

由上述推导可知，（1）（2）两式是同源且几乎同理得到的，若假设测量数据一点误差都没有，则两种求法结果一定是一致。由此可说明（1）（2）两式不分伯仲。

2  理想实验探究读数误差出现的位置决定测量结果孰优孰劣

由于利用纸带求物体的加速度，所以难确定“逐差法”和“临差法”哪一个更接近真实值，这里笔者用理想实验的办法解决这一难题。实际上不计一切影响的理论值可作为这里的真实值。设拖一纸带的物体做初速度为零，加速度=1.0 m/s2的匀加速运动，则由可得一组理论数据如下表1所示。

按表1为了与真实的实验相吻合，利用表中计数点3到9的数据，相当于把表格中计数点3之前的点舍去，重新规定表1中计数点3、4、5……为纸带上的计数点O、A、B……，以此类推，我们得到一条理想纸带如图2所示。

我们知道图2是一条理想纸带，不论用（1）（2）哪个式子求解，其结果一定一样。为了显示出利用不同公式计算的结果由哪些位置的读数误差决定，这里再利用类似控制变量法进行理想化数据处理。假设只有O到A和A到B读数有误差，即O到A比真实值多读了0.10 cm，而A到B比真实值少读了0.10 cm，其他数据不变，得到的理想纸带如图3所示。

由图3这条纸带，根据（1）式算得=1.0 m/s2，而根据（2）式算得=0.98 m/s2，从而说明利用（2）式计算的结果偏离真值。若假设只有B到C和C到D读数有误差，即B到C比真实值多读了0.10 cm，而C到D比真实值少读了0.10 cm，其他数据不变，得到的理想纸带如图4所示。

由图4这条纸带，根据（1）式算得≈0.98 m/s2，而根据（2）式算得=1.0 m/s2，这又说明利用（1）式计算的结果偏离真值。从这两种假设可以看出，读数误差出现在纸带上不同的位置，造成利用（1）（2）式计算的结果与真实值偏差情况不同，從而说明两式在求解加速度时，没有确定的孰优孰劣。

3   纸带获取的数据首先是用来判断物体做什么运动，其次才是用来计算加速度

只有弄清楚纸带上数据的首要作用，才能搞明白为什么有（1）（2）两式求加速度的方法。因为（1）（2）两式成立的先决条件是纸带上点迹显示出来的是匀变速运动，否则两式都不成立。不论是“逐差法”还是“临差法”都是要先求出1、2、3或1'、2'、3'、4'、5'，比较1、2、3或1'、2'、3'、4'、5'在误差范围内是否相等，如果相等则所求的平均值才是最接近真值的加速度，否则所求平均值另有其他物理意义。

为了判断纸带上的点迹是否是匀变速运动，不必求出来判断。由于影响判断准确度的测量是△s和T的测量精度，其中T对两种方法均相同，是由打点计时器打点的均匀程度（交流电频率的稳定程度）决定，因此比较两实验结果的准确度主要由△s的测量精度决定。实验中用的是毫米刻度尺来测量s，然后间接算出△s，实验中用的直尺的最小刻度为1 毫米，△s准确度的判断则由算出的△s的有效数字的位数多少来决定，即△s值的有效位数多，则判断的精度越高。若把表1中的加速度设为0.60 m/s2，同理可得理想数据如表2所示。

从表2数据中可以知道，利用（1）式算出的△s'和利用（2）式算出的△s比较，用（1）式算出的有效数字位数是3位，而用（2）式算出的有效位数是2位，说明用（1）式算出的△s'能更准确地判断该运动是否是匀变速运动，而用（2）式算出的△s在判断上来说没那么准确。然而，若把表1中的加速度设为1.0 m/s2，同理可得理论数据如表3所示。

从表3中可以看出，从有效数字位数上来说利用哪个式子算出结果都是3位有效数字，也就是说不必非要用（1）式进行数据处理。

综上可知，“逐差法”的来历是在一定的条件下能更准确地判断运动是否是匀变速运动而产生的一种数据处理的方法，而这种方法不是在什么条件下都优于“临差法”。也就是说，如果用（1）式算出的△s'有效数字位数不比用（2）式算出的△s的有效数字位数多，就不必要采用“逐差法”。再者，在具体的题目中，两种方法计算结果差异大时，即争议大的时候，其题中△s差异也大，也就是说把该运动当成是匀变速运动过于粗略。若题中△s差异小时，则两种算法结果基本一致，也就不存在争议了。

4   关于利用纸带获取的数据求加速度知识的讲解和利用纸带命检测题时的一些建议

利用打点计时器打出的一条纸带，对纸带的数据进行处理是高中物理测试中一个常考的问题。它能很好地考查学生对匀变速运动规律的掌握和理解。通过纸带主要考查的内容有判断物体是否做匀变速运动、求物体的加速度和某点的瞬时速度。纸带利用还在探究自由落体运动、验证牛顿第二定律等实验中得到广泛应用。对比人教社原来的《全日制普通高级中学教科书（必修）物理 第一册》和后来的《普通高中标准实验教科书 物理1 必修》，原来书中有详细推导，而后来删掉了此内容，笔者认为教学中还是要让学生对该知识有全面的了解，更有利于学生对知识的理解和掌握。

2019年高考理综全国Ⅰ卷22题就是考查这一内容的题，但出题者很好地把控着不出现两种方法计算结果的争议，所给数据两种算法基本一致。所以命题时不必要在“逐差法”和“临差法”方面去细究，文字计算题两个答案均给分就行了，如果是数字计算，给出的结果应有一个合理范围。

【参考文献】

[1]《全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册》[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]《普通高中课程标准实验教科书 物理必修1》[M].北京：人民教育出版社，2010.

[3]吴石林，张玘.《误差分析与数据处理》[M].北京：清华大学出版社，2010.

[4]John R.Taylor 著，王中宇等 译.《误差分析导论》[M].北京：高等教育出版社，1996.

[5]熊志权.《物理原来不能这样考》[M].成都：西安交通大学出版社，2012.

[6]陈恩谱.《物理原来可以这样学》[M].长沙：中南大学出版社，2018.