概率联袂特征根 压轴添别样风景
——全国数学高考卷Ⅰ理科第21题的教材之源与竞赛之流

(单县第一中学，山东 单县 274300) (昌邑市教研室，山东 昌邑 261300)

2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题凸显学科素养导向，兼顾基础性和创新性；确保试卷整体难度适当增加，关注新教材的变化与衔接，融入数学文化与审美教育，强调数学应用.第21题强化概率实际应用，重视对基础知识、理性思维、逻辑推理和数学阅读能力的考查，兼顾对信息获取、分析与知识综合应用能力的测评；试题降低数据整理要求且增加了开放性，给人耳目一新之感.

1 试题呈现

例1为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

1)略.

2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(其中i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则

p0=0，p8=1，

pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，

且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．

①证明：{pi+1-pi}(其中i=0,1,2,…,7)为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

常规解答如下：

①证明a=0.4,b=0.5,c=0.1,则

5pi=4pi-1+pi+1(其中i=1,2,…,7),

即

pi+1-pi=4(pi-pi-1)

亦即

故{pi+1-pi}(其中i=0,1,…,7)为等比数列.

②解pi+1-pi=4i(p1-p0)=4ip1(其中i=1,2,…,7)，且

p8=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=

(1+4+42+…+47)p1,

解得

故

由p4的数值极小可知，当i=4时，甲药比乙药有效的概率非常小，为小概率事件，即上述求解过程与甲、乙两药的初始赋分无关，只与两种药的效果有关，因此这种试验方案是合理的.

点评缘于试题知识结构、现实背景和科学情境等因素，各地模拟检测的概率题常停留于对往年试题模仿、改编；而以概率问题压轴，地方自主命题仅在2013年安徽省数学高考理科试题中出现过，全国卷独有优势，试题命制的“材料言简意赅，内涵丰富，数量关系隐藏于文字叙述之中，数据分析融入其中，语言表述多样化”风格日趋成熟.本试题第2)小题以概率为命题背景，以证明特殊数列为知识载体，展现数学的科学性和实用性；数学阅读量大，语言转换过渡要求高，尤为注重对信息分析能力的考查，无痕落地“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”[1].命题者特意构造数列{pp+1-pi}，引导考生转化为特殊数列研究相邻两项的关系，展现设计的人文关怀；但又设置思考障碍，数列通项求解需要用到累加法，以此作为检测能力的载体，以期达成试题的有效区分.

2 探源揭流

2.1 课本之源

命题遵循“来源于教材，高于教材”的原则[2]，该概率试题的数学知识背景是随机过程中的马尔科夫链，巧妙初等化为条件pi=api-1+bpi+cpi+1；解题降阶为等比数列证明与数列通项求解，所需解法原理回归教材.譬如人教A版《数学(必修5)》第69页第6题：

例2已知数列{an}中，a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(其中n≥3),对于这个数列的递推公式作一研究，能否写出它的通项公式？

教师参考用书的标准答案为：由an=2an-1+3an-2(其中n≥3)，得

an+an-1=3(an-1+an-2)

与

an-3an-1=-(an-1-3an-2)，

从而

an+an-1=3n-2(a2+a1)=3n-2×7，

an-3an-1=(-1)n-2(a2-3a1)=(-1)n-2×13,

于是该数列的通项公式为

以上解答过程，较例1难度更大，因未设计过渡问题，学生直接构造特殊数列转化，思维层次要求高；学生从数列连续3项递推关系出发，构造新的、特殊的数列，需经历类比推理、数学猜想和逻辑证明等思维活动.即由an=2an-1+3(其中n≥3)，猜想新数列的形式为

an+λ=2(an-1+λ),

解得λ=3；进而研究

an=2an-1+3an-2，

可类比构造为

an+λan-1=2(an-1+λan-2)，

故λ=-1或λ=3.

例2的参考答案未给出分析的过程，自然难度大；但作为高考试题的例1为考生搭好“脚手架”，让他们可以拾级而上，不人为增加难度，目的是突出考查学科核心素养.

2.2 巧解溯源

例1也为数学优异生提供了能力施展的空间，其中5pi=4pi-1+pi+1(其中i=1,2,…,7)的处理可以作为甄别考生思维灵活性的极佳工具，让会思辨、善思考的考生脱颖而出.上述递推式已具备使用特征根求数列通项的基本条件，即对于an+1=pan+qan-1(其中n≥2，且p,q为常数)的通项求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两个根(此方程又称为特征方程)，则

1)当α≠β时，其通项公式为

an=Aαn+Bβn；

2)当α=β时，其通项公式为

an=(A+Bn)αn-1，

其中A,B分别由初始条件a1,a2所得的方程组

唯一确定.

特征方程x2-5x+4=0的根为1,4，从而数列递推式的通项形式为

pi=α+β·4n.

代入p0=0，p8=1可得

故数列通项公式为

显然可证得数列{pi+1-pi}为等比数列,进而求得p4.

以例2为例分析，解答中λ=-1,λ=3与an=2an-1+3对应的特征方程x2-2x-3=0的两根相同，印证构造法和特征根法本质上是一致的.本质上，求二阶线性递推数列通项，将递推数列

an+1=pan+qan-1(其中n≥2)

转化为等比数列，需构造an+1=pan+qan-1为

an-1-tan=s(an-tan-1)，

即

an+1=(s+t)an-stan-1.

根据系数相等得方程组

故s,t为特征方程x2=px+q的根.

2.3 试题之流

数列特征根与概率知识综合考查，在数学竞赛和名牌高校选拔试题中屡见不鲜.下面以3道竞赛试题为例，一窥两者结合命题的概貌.

例3设一个袋子里有红、黄、蓝的小球各一个，现每次从中取出一个球，确定颜色后放回；直到连续两次均取出红色球为止，记此时取出的红球次数为ξ，则ξ的数学期望为______.

(2019年四川省高中数学竞赛预赛试题第5题)

故

图1

例4一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第8秒爬回初始位置的概率为______.

(2018年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营测试一第8题)

解在如图1所示的八面体中，设n秒后小虫位于点P的概率为pn，位于点A,B,C,D的概率为qn，位于R的概率为rn,则

关于概率pn的关系为

类似的问题还有2017年清华大学暑期夏令营数学测试第12题：投掷一枚均匀的硬币，若连续出现两次正面向上的情况即停止投掷，问总投掷次数的数学期望.读者可以自行研究.

数列递推式的特征根应用于概率，常见是如上通过求得数列的通项来研究概率，其核心仍是数列问题.另一类根据通项形式逆向求解递推式也值得重视.

(2019年四川省高中数学竞赛预赛试题第7题)

an+2=4an+1+an,

高考命题的导向性强，有待一线教师静心研究，领悟命题者意图和素养考查方式，寻求命题的知识背景、方法本原和思想内涵.从应试中脱身转向素质培养，教师必须精选典型问题，纵向分析发展横向看外延，问题回归教材、思想方法渗透于课堂[3].