平面曲线的双切圆问题

孙建红

（忻州师范学院五寨分院 数学系，山西 忻州036200）

本文是一个源于形状识别的数学问题.在诸多的研究方法中，选择平面内简单光滑闭曲线M作为研究对象.参考文献［1-2］中给出了结论：曲线M（M的所有点）能被双切圆恢复，则曲线是双切圆切点的闭包.这里的问题是：对于平面上的一条光滑闭曲线和曲线上任一点是否一定存在一个切于此点和曲线上的别的点的双切圆.参考文献［3-5］中作者详细地分析了以上问题，得出了与之相关的定理：对于平面上的一条光滑闭曲线和曲线上任一点一定存在一个切于此点和曲线上的另一点的双切圆或双切线.基于以上的讨论，本文给出了平面曲线M的切割函数（曲线M与圆的一个切点和一个割点所确定的圆半径的倒数）的定义并且进行了扩展；并利用切割函数的几何意义对其进行研究，得到了平面上简单光滑闭曲线M存在双切圆或双切线的条件；并且在对切割函数讨论的基础上，对双切圆进行了更细致的研究，建立了切割函数偏导数与双切圆之间的关系，从而得到了平面简单光滑闭曲线存在最大和最小双切圆的等价条件.

1 预备知识

定义1

定义2

在曲线上的每一点处定义伏雷内标架，先沿曲线（C）作它的单位切向量场然后按逆时针方向把绕切点旋转则得到曲线（C）的单位法向量场于是得到了沿曲线的伏雷内标架场，对于这个伏雷内标架场来说，伏雷内公式［6］277-287有如下形式：

其中：k（s）是平面曲线的相对曲率.

定义3

如果直线与曲线至少相切于两点，则称直线是曲线在该点的双切线.

如果圆与曲线至少相切于两点，则称圆是曲线在该点的双切圆.

由切线［7］的定义可得，曲线的双切线一定是曲线的切线.

2 切割函数的定义

为了研究平面曲线的双切圆，我们需要建立曲线与双切圆之间的一个映射关系，这个映射就是文章的核心概念——切割函数.

定义4

定义5

命题1

图1 切割函数的几何表示

我们进一步对f（s0，s1）进行分析：

其中：ξ在s0和s0＋Δs之间，k（s0）为曲线在p0点的相对曲率.，其中：k（s）为曲线在p点的相对曲率.11

因此，我们可以定义拓展的切割函数：

由以上计算得：

从而由拓展函数：

得到拓展的切割函数在（s0≠ml＋s1，m∈Z）有不相同的一阶偏导数.

3 切割函数的几何性质

在定义4和命题1中，我们给出了切割函数的概念，并且得出了切割函数与双切圆半径之间的关系.下面将对切割函数的几何性质做更进一步的讨论.

命题2

证明：直 线p0p1切 曲 线于等 价 于（s0≠ml＋s1，m∈Z），即）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），由此可得：f（s0，s1）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），因此，命题得证.

命题3

证明：∵p0≠p1⇔s0≠ml＋s0，m∈Z，∴直线p0p1切曲线于等价于＝0且＝0（其中为曲线在点处的单位法向量）等价于f（s0，s1）＝f（s1，s0）＝0.

命题4

又∵

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，曲线是闭合的，因此，F（s0，s1）在曲线上可取到最大值或最小值，当f（s0，s1）＝0时，这样的切线是存在的.由以上命题我们可得到：曲线存在双切线p0p1（p0≠p1）的充要条件是或＝0且f（s，s）＝0.

01

命题5

证明：当f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）时，圆C是存在的.

讨论必要性：

由圆C与曲线切于点p1，可得

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，M 闭［277-287］，因此F（s0，s1）在 M-｛p0｝上可取到最大值或最小值.当F（s0，s1）≠0（p0≠p1）时，这样的点总会存在，充分性显然.

命题6

当f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）时，圆 C切曲线于点的充要条件是存在圆C与 M 的交点使得

证明：当f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s0，m∈Z）时，圆C是存在的.

又∵圆C与曲线切于点p0.∴圆C切曲线于点

命题7

命题8

由命题6和命题7可知命题8的结论是显然的.

定理1

注意：事实上，若F（s0，s1）的最小值等于0时，此时曲线存在R＝＋∞的双切圆，换句话说，此时的双切圆为曲线在该点的双切线.