半解析法求解水柱分离与断流弥合水锤问题及机理分析

韩 凯，丁法龙，茅泽育

半解析法求解水柱分离与断流弥合水锤问题及机理分析

韩 凯，丁法龙，茅泽育※

（清华大学水利水电工程系，北京 100084）

为了应对长距离输水工程的水锤防护问题，分析了空气阀作用于波状管线有压输水系统发生水力过渡时的瞬态响应过程，提出了空穴增长和溃灭时间、管线最大含气率、最大压力峰值等参数的半解析公式，并由此探讨和研究影响空气阀水锤防护效果的关键因素。半解析解表明，位于空气阀下游的管段相对长度和管线高点的相对高程对系统的断流弥合水锤起了主导作用。将半解析解与特征线法数值解进行了对比，发现两者随主变量的变化趋势一致；分析了半解析解与数值解产生偏差的原因与半解析公式推导过程中几个假设的关系。结果证明，该文提出的半解析公式能够反映空气阀作为水锤防护装置时，主导断流弥合水锤压力峰值的关键因素。该研究可为水锤防护的相关研究提供参考。

压力；模型；空气阀；半解析方法；液柱分离；断流弥合；特征线方法

0 引 言

在水力过渡过程中，有压输水管线内部产生真空，需要通过空气阀将外界气体引入管道[1-4]。空气阀工作时既要保证吸入足量空气以缓解负压，又必须在真空负压消失后尽快将气体安全地排出管道，从而避免管内气团滞留带来的不利影响[5-7]。相比于调压井和空气罐等水锤防护装置，空气阀设计与布置更灵活，经济性较高，因此在停泵、充放水、流量调节等操作引起水锤负压时常被采用[8-10]。空气阀的布设位置和孔口尺寸对有效控制管线内的真空条件至关重要，不当设计和故障失灵都极有可能引起二次水锤现象，引发更为严重的后果，但如何规避这一风险仍然存在较大的争议[1, 4, 11-12]。

为了限制有压输水管道内部气团积聚，按照空气阀的使用指导意见，装置常被要求布置在管线沿程的所有局部高点[13-14]，但这样的方案经常导致安装过多的空气阀。因空气阀需要定期进行检查和维护，过量安装必然会增加由于空气阀故障引起二次水锤的风险[7,15]。因此，无论是从空气阀的运维成本还是从空气阀故障导致的不利影响考虑，减少冗余的空气阀布置都具有积极意义。

用数值方法求解水力过渡过程的动力学方程组及相关边界条件是一种较为可靠的方法，因此国内外学者们针对液柱分离现象和空气阀开展了大量的数值研究工作，但数值方法计算量巨大；泵站水锤的水动力学特性对边界条件又极其敏感，决定不同工程的水锤特性可能存在较大差异，因此针对某项输水工程往往需要拟定数十甚至上百种工况，并进行计算和分析[16-23]。解析公式通过直接求解微分方程得到，变量间关系简捷明了，便于分析计算，但解析解往往需要一些简化条件或仅适用于特定的情况[24]，推广应用受一定的限制。不同于数值方法的“暴力解”，半解析方法不仅物理意义清晰、直观，而且适用面更广、更具一般性，也有利于工况拟定和关键参数开展进一步研究，可以大大提高工程计算效率[25-26]。

从水锤波传播的基本理论出发，针对本文设计的波状管线有压输水系统，建立了发生水力过渡时空气阀引起气穴增长、溃灭的时间和与之对应的管道最大含气率和水锤压力峰值的半解析公式，并由此探讨和研究空气阀对系统的瞬态响应特点与输水管线几何特性和水力特性的关系。

1 水锤波传播过程分析

如图1所示，该有压输水系统主要由上、下游水库、泵、空气阀和带有局部高点的输水管线构成，管道材料、截面形状和面积沿程不变。将上游水库A1到局部高点B的长度为1的管段（A1B）定义为上游段，将局部高点B至下游水库C的长度为2的管段BC）定义为下游段。当输水流量恒定时，忽略局部水头损失，沿程水头均匀变化。

注：A1为上游水库，C为下游水库；B为局部高点，布置有空气阀；h1与h2为上游端和下游端的水头，m；hp为B点的水头与高程的差值，m；v0为水流流速，v0= q0/A，m·s-1；q0为初始管道流量，m3·s-1；A为管道的截面积，m2；L1与L2为上游段和下游段的管线长度，m。

在=0时刻，事故停泵引起断流后，阀门随即关闭，在上游端形成一个大小为Δ1的降压波。当降压波经过1/的时间传播到B点时，空气阀开启，引入空气使得B处压强总维持在大气压。一方面，在B处的气团作用下，降压波的大小从Δ1减弱为h后继续向下游传播；另一方面，水锤波在气团处产生反射，继而向上游传播大小为Δ2的增压波，其中Δ2=Δ1−h。1/时刻后，A1B段的水流和水锤波将做周期性运动，忽略管道摩擦，B点在上游界面的水流速度up（由A1到B为正向）和水头up可用图2表示。

注：hB为局部高点处的水头，m；Δh1为因停泵在上游端产生的降压波，m；Δh2为在气团处反射向上游端的增压波，m；hup为局部高点在上游界面的水头，m；vup为B点在上游界面的水流速度，m·s-1；t为时间；a为水锤波波速，m·s-1。

大小为h的降压波继续沿BC段向下游传播，相应的流速从0减小为1

式中和′表示时间，s，′=1/；1为0<′<2/时下游管道内的流量，m3/s；为重力加速度，m/s2。

′=2/时刻降压波抵达下游水库后，向上游反射大小为h的增压波，同时管道流量变为2（流向不变），即2/<′<22/期间，2=1−Δq，Δq为不计摩擦时下游流量变化值，q+1= q-Δq，m3/s；q为下游管段内的阶段性流量，=1,2,…，m3/s；′=22/时刻水锤波再次抵达B点，水锤波在气团处产生反射，继而向下游传播大小为Δ2的降压波，由于不考虑管线摩擦且气团体积相比于管线容积可忽略不计，使22/<′<32/期间3=2−Δq；此过程持续进行。当水锤波第次通过下游管段时，管道流量记为q；直到BC段水流正向流动停止，即q=0，此为第一阶段。由于q>0时，BC段水体一直流入下游水库，故外界气体通过空气阀持续进入管段，引起管内气穴体积air增长。BC段正向流动停止时气穴体积air出现最大值，但此时下游端水头大于局部高点B处的气压，BC段水流开始逆向流动，air开始减小。逆向流速v+j每隔2/数值上增加Δv。Δv为下游段水流流速变化值，Δv= Δq/，m/s。此过程一直持续到管内气体通过空气阀被完全排出，A1B段水柱和BC段水柱重新弥合，即当air=0时下游段第二阶段的流动停止。

B处形成的气团隔断了上、下游管段内的水体，因此可以将图1所示的输水系统拆解成2个子系统，以便进一步分析。根据前面分析所得的上、下游管段内水锤波不同的传播特性，本文将图1中的系统按图3所示拆解成2个输水子系统，其中：上游段的水锤由=0时刻的瞬时关阀引起，下游段子系统的水锤是由水库在=1/时刻水位突然下降h引起。

注：F、E为上、下游子系统中的2个水库；hp为局部高点处的高程与该处水头的差值，m。

2 半解析公式的建立

2.1 光滑管道的半解析公式

大小为Δ1的降压波在B点削弱为P后，继续向下游传播，下游管段内的流量取决于B点的高程

下游管段内流量q的变化还与下游管线的长度有关，利用取整函数INT（），下游管段内流量随时间变化的函数q()可表示为

令式（3）等于0，得到下游段水锤波运动第一阶段结束时传播往返次数和相应的气穴体积增长总历时t。

假设管内压力变化时，气体可以自由出入空气阀，因为不计管道摩擦，可认为气穴的增长过程和消减过程在时间上关于q=0的时刻对称。由此，气穴溃灭的历时t可认为是气穴体积增长历时的2倍，即

图3所示等效的上游系统中，波的每次往返只引起水流流向周期性地反转。因此，上游段水流流动对空穴体积的影响可以忽略不计。在下游段水流减速过程中，水体从管道进入下游水库的同时，空气不断从空气阀进入管道，于是下游管道的最大空穴体积airmax可表示为

将式（2）至式（4）代入式（7），可得

由式（8）可知，最大空穴体积airmax是关于波在下游管道的传播时间（2/）、横截面积（）、初始管道流量（0）以及B点的相对高程（Δ2/Δ1）的函数。实际工程中、和0一般是确定的，因此airmax与2和Δ2/Δ1直接相关；airmax与2成正比，故当BC段管长较大时，更多气体得以进入管道，但airmax与管道体积pipe（m3）的比值却是恒定的。

假设气体的体积流量与水流一致且不存在压缩，在第二阶段末空气完全排出（air=0）时，空气阀自动关闭，上下游水柱断流弥合，产生水锤后同时向上下游传播。该水锤压力是Joukowsky公式计算值的一半[27]，即

式中Δmax为光滑管道内上下游水柱断流弥合产生的水锤压力，m；up为上游管段的流速，m/s；d为下游管段的流速，m/s。结合式（4）并根据图2考虑上游段对Δmax作用，可知不计摩擦时的最大和最小压力峰值Δmax,min出现在管线A1B段水流停止运动（up=0）而内压为±Δ2时，即

2.2 考虑摩擦影响的半解析公式

实际情况中水锤波在传播过程中必然会因管线的摩擦作用而衰减，上游段的流量逐渐减少，上游段水锤波运动对管内气穴体积air（m3）和Δmax的作用也会相应减少。考虑摩擦时，对t=2（1/）（=0,1,2,3…），上游段的流量变化q可用下面的阶跃函数表示

式中in表示水锤波在B点第一次反射引起的流量，m3/s；h(q)表示流量q引起的沿程水头损失，m。

显然上游段不计摩擦时的流量变化过程只是式（11）的一个特例。对于下游段而言，管道摩擦使得流量变化减慢，从液柱分离到断流弥合的历时增加，airmax也随之增加。结合变量Δ来描述流量和气穴体积的变化，如下

由式（12）可知，考虑摩擦作用时下游段流量q在水锤波传播过程中的变化速率不断变化，此处为了便于分析摩擦力的作用，假定式（13）中流量变化速率恒定，并由此得到关于上游段流量的衰减系数，如下

式中表示水锤波从=1/开始在上游段传播的往返次数，q为水锤波第次往返传播时的流量，m3/s。

为了估算上游段的水头变化情况，将式（14）写成B点水头的形式，如下

式中h为水锤波第次往返传播时的上游管段水头，m。

如前所述，下游段考虑摩擦时的流量增量变化更加复杂，为了便于讨论，做以下假设：（1）无论是第一阶段的正向流动，还是第二阶段的逆向流动，流量增量均取平均值Δmean；（2）空穴消失和断流弥合的时刻以逆向流量达到−1计。根据第（1）条假设，估算第一阶段的流量增量平均值Δ1如下

将式（16）中的Δ1代入式（3），得

气穴体积增长总历时t出现在q()=0时，结合式（16）、式（17）及式（2），可得t的无量纲形式

同理，可用式（19）估算下游段第二阶段的流量增量平均值Δ2

从t时刻至气穴溃灭的总历时t时刻，q()=0从0增长为-1，故有

断流弥合的时刻t出现在q()=−1，根据式（19）、式（20）及式（2），可得t的无量纲形式

为了估计断流弥合时的上游水头和流量，有必要对该时刻水锤波往返传播的次数N进行估计，即

将N代入式（15）得到断流弥合时的水锤压力

最大空穴体积出现在=t时刻，相应的airmax可用式（17）在对应时段的积分来表示

将式（2）和式（18）代入式（14），得到下游管道最大含气率max

式中ΔMax,Min表示考虑管线摩擦时，上下游断流弥合产生的最大和最小压力峰值，m；表示考虑摩擦影响时下游段水锤波运动第一阶段结束时的传播往返次数。

图4是令下游管线相对长度固定（2/1=10）后，取管线高点不同的相对高程（Δ2/Δ1）后，计算得到的t、t、max和ΔMax,Min。由图4a可知，Δ2/Δ1越大，管线摩擦作用（取沿程阻力系数=0.022）对气穴变化的作用更明显，而且相比于t，t受管线摩擦作用的影响更显著，这是因为摩擦作用使得下游段第二阶段的流量增量Δ2大为减小。由图4b可知，局部高点的高程越高，摩擦作用对水锤压力的作用越明显，管线的体积含气量也就越大；不同Δ2/Δ1引起断流弥合压力峰值大小不同，当2/1=10时，最大压力峰值ΔMax=1.54Δ1发生在Δ2/Δ1=0.85处。

注：tg为气穴体积增长总历时，s；tc为气穴体积溃灭总历时，s；f为沿程阻力系数；ΔhMax为考虑摩擦时的最大压力峰值，m；ΔhMin为考虑摩擦时的最小压力峰值，m。

对于下游管段不同的相对长度，断流弥合产生的压力峰值出现在不同的高程位置，这一趋势可在图5中体现：随着下游管段相对长度2/1增大，出现压力峰值ΔΔMax的相对高程不断降低，ΔMax的值也逐渐减小；显然这2种降低的趋势随着2/1增大不断减缓，可见下游管段长度增加，压力峰值ΔMax的大小和对应的高程位置会趋于稳定。

注：ΔhMax/Δh1表示断流弥合水锤最大压力峰值的相对值；Δh2/Δh1表示出现断流弥合水锤最大压力峰值对应的局部高点相对高程。

3 半解析法的验证与误差分析

一维非恒定有压管流的连续性方程和运动方程如下[27]

式中为断面平均流速，m/s；为测压管水头，m；为管轴线上流动方向与水平线的夹角，rad，当高度沿轴正方向增加时为正；为沿程阻力系数。

特征线法（method of characteristics，MOC）是一种通过求解一维非恒定有压管流连续性方程和运动方程及相关内外边界条件来分析水力过渡过程中各类主要现象的数值计算方法，被学者们广泛应用[17, 28-30]。本文为图1所示的输水系统设计不同的管线高点高程，建立数值模型后采用特征线法进行求解，并将数值计算结果与本文半解析方法（semi-analytic method，SAM）得到的结果进行对比，得到图6。数值模型的主要参数如下：管径= 2 m，初始流量0=1.0 m3/s，波速=1 000 m/s，上游管线长度1=1 km，下游管线长度2=101，沿程阻力系数为0.022，空气阀进出孔口的直径与流量系数分别为0.2 m、0.2 m、0.6和0.6。

如图6所示，2种计算方法计算得到的气穴增长时间t、气穴溃灭时间t、管道最大含气率max和断流弥合压力峰值ΔMax随B点相对高程（Δ2/Δ1）变化的趋势一致，且在数值上差异较小。其中，以半解析方法计算得到的max在数值上小于MOC方法计算得到的结果，这主要是因为在分析过程中忽略了上游段的储气量。2种方法计算得到的ΔMax存在一定差异，这可能是因为采用形如式（17）、式（20）和式（24）的线性函数来计算下游管段的流量会导致下游流量及相应断流弥合水锤偏小，而用MOC计算水锤压力时，空气阀的边界条件可控制计算过程中下游流量经过反射后按阶跃形式变化，而Δ2/Δ1越小，根据2种方法计算得到ΔMax的数值随着差异越大，这是因为管线高点越低，下游管段的坡度项sin越大，对MOC方法求解水锤压力的影响也就越大。此外，半解析法假定第二阶段逆向流量达到−1时刻发生断流弥合，但实际当逆向流量达到−1时，管内气体未完全排尽，因此MOC计算得到发生断流弥合时候的流量会在−1的基础上在附加部分流量，这无疑会使得MOC计算得到的t和ΔMax稍大于半解析法计算得到的数值，图6表明管线高点越低这一现象越明显，如Δ2/Δ1=0.9时，2种计算方法得到的t、t、max、ΔMax相对误差是16.1%、12.8%、22.2%、4.9%，而当Δ2/Δ1=0.6时，相对误差依次为是45.3%、47.4%、55.8%、14.6%。另一个引起两者偏差的原因可能是采用式（16）和式（19）对两阶段的流量增量取了平均值。

图6 半解析法(SAM)与特征线法(MOC)求解结果的对比

虽然在半解析公式推导过程中几点假设引起了系统误差，但半解析解与数值解呈现了较好的吻合度，证明该半解析方法有助于正确理解空气阀对系统的瞬态响应特点与输水管线几何特性和水力特性的关系。

4 结论与讨论

针对设计的波状管线有压输水系统，先后从无摩擦和有摩擦2种情况，就气穴增长与溃灭时间、管道最大含气量、气穴溃灭时的最大和最小压力峰值等目标参数推导了半解析公式，并据此对空气阀的水锤防护机理进行了分析。主要结论如下：

1）目标参数的半解析公式表明，空气阀下游管段的相对长度和管线高点的相对高程对系统发生水力过渡时的瞬态响应起了主导作用。

2）数值方法与半解析方法的计算结果存在一定的偏离，这可能是在公式推导过程中的几点假设引起的系统误差，可考虑通过后续的试验引入参数加以修正；但2种方法的结果随局部高点相对高程的变化趋势一致，证明根据半解析公式得出的初步结论是正确的：管道最大含气率与水锤波在下游管道的传播时间和管线高点的相对高程正相关。因此随着空气阀安装高程的增加，尤其是与之对应的下游管段长度较大时，空气阀采用大口径进气孔有利于提高其水锤防护效果。

3）随管线高点高程的增加，气穴溃灭时的逆向流量和流速增大，导致对应的最大压力峰值增大，但考虑管线摩擦作用时，最大压力峰值出现在一个特定高程；峰值压力及对应高程位置随下游管段相对长度的增加而逐渐下降，最终趋于稳定。即空气阀下游管段的长度和粗糙程度决定了最大压力峰值及其出现的特定管线高程。

本文提出的半解析公式适用于包含一个空气阀的波状管线输水系统，对于包含存在相互影响的多种水锤防护装置的复杂系统，需要在今后的研究中讨论。本文提出的半解析公式有助于理解空气阀在水锤防护时的作用机理，明确应该基于那些条件对空气阀的尺寸与布设位置进行调整，为有压输水系统，特别是那些沿途管线高程起伏波动的工程，选择合适的空气阀以及削减冗余的空气阀提供了参考，使有压输水系统免受二次水锤和真空负压的影响。

[1] Ramezani L, Karney B, Malekpour A. The challenge of air valves: A selective critical literature review[J]. Journal of Water Resources Planning and Management, 2015, 141(10):04015017.

[2] Coronado-Hernandez O E, Fuertes-Miquel V S, Besharat M, et al. Experimental and numerical analysis of a water emptying pipeline using different air valves[J]. Water, 2017, 9(2):98.

[3] Fuertes-Miquel V S, Lopez-Jimenez P A, Martinez-Solano F J, et al. Numerical modelling of pipelines with air pockets and air valves[J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2016, 43(12): 1052－1061.

[4] 刘志勇，刘梅清. 空气阀水锤防护特性的主要影响参数分析及优化[J]. 农业机械学报，2009，40(6)：85－89.

Liu Zhiyong, Liu Meiqing. Analysis and optimization of main influencing parameters for water-hammer prevention characteristic of air valves[J]. Transactions of The Chinese Society of Agricultural Machinery, 2009, 40(6): 85－89. (in Chinese with English abstract)

[5] 王玲，王福军，黄靖，等. 安装有空气阀的输水管路系统空管充水过程瞬态分析[J]. 水利学报，2017，48(10)：1240－1249.

Wang Ling, Wang Fujun, Huang Jing, et al. Filling transient analysis in pipelines with air valves[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2017, 48(10): 1240－1249. (in Chinese with English abstract)

[6] Carlos M, Arregui F J, Cabrera E, et al. Understanding air release through air valves[J]. Journal of Hydraulic Engineering-ASCE, 2011, 137(4): 461－469.

[7] Bergant A, Simpson A R, Tijsseling A S. Water hammer with column separation: A historical review[J]. Journal of Fluids and Structures, 2006, 22(2): 135－171.

[8] 高金良，郑成志，刁美玲，等. 高起伏长输管线水锤模拟及防护方案优选[J]. 哈尔滨工业大学学报，2012，44(8)：24－26，38.

Gao Jinliang, Zheng Chengzhi, Diao Meiling, et al. Study on optimal surge protection for high-undulate long-distance water transmission pipeline[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2012, 44(8): 24－26, 38. (in Chinese with English abstract)

[9] 胡建永，张健，索丽生. 长距离输水工程中空气阀的进排气特性研究[J]. 水利学报，2007(增刊1)：340－345.

Hu Jianyong, Zhang Jian, Suo Lisheng. Study on air admission and exhaust characteristics of air valve in long water supply system[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2007(Supp.1): 340－345. (in Chinese with English abstract)

[10] Ramezani L, Karney B. Water column separation and cavity collapse for pipelines protected with air vacuum valves: Understanding the essential wave processes[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2017, 143(2): 04016083.

[11] Lingireddy S, Wood D J, Zloczower N. Pressure surges in pipeline systems resulting from air releases[J]. Journal American Water Works Association, 2004, 96(7): 88－94.

[12] Coronado-Hernandez O E, Fuertes-Miquel V S, Angulo- Hernandez F N. Emptying operation of water supply networks[J]. Water, 2018, 10(1):22.

[13] Howard G. Water Supply Surveillance: A Reference Manual[M]. WEDC, Loughborough University, 2002.

[14] John D M. Awwa manual of water supply practices: M57. 1ST ED[J]. Journal of Phycology, 2011, 47(4): 963－965.

[15] De Aquino G A, De Lucca Y D L, Dalfre J G. The importance of experimental tests on air valves for proper choice in a water supply project[J]. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2018, 40(8):403.

[16] Jiang D, Ren C, Zhao T Y, et al. Pressure transient model of water-hydraulic pipelines with cavitation[J]. Applied Sciences-Basel, 2018, 8(3):388.

[17] Riasi A, Tazraei P. Numerical analysis of the hydraulic transient response in the presence of surge tanks and relief valves[J]. Renewable Energy, 2017, 107: 138－146.

[18] 富友，蒋劲，李燕辉，等. 改进双流体模型计算有液柱分离的管路水锤压力[J]. 农业工程学报，2018，34(15)：58－65.

Fu You, Jiang Jin, Li Yanhui, et al. Calculation of pipe water hammer pressure with liquid column separation by improved two-fluid model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(15): 58－65. (in Chinese with English abstract)

[19] Zhang B R, Wan W Y, Shi M S. Experimental and numerical simulation of water hammer in gravitational pipe flow with continuous air entrainment[J]. Water, 2018, 10(7):928.

[20] Zhou L, Wang H, Bergant A, et al. Godunov-type solutions with discrete gas cavity model for transient cavitating pipe flow[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2018, 144(5): 04018017.

[21] Geng J, Yuan XL, Li D, et al. Simulation of cavitation induced by water hammer[J]. Journal of Hydrodynamics, 2017, 29(6): 972－978.

[22] Moghaddas S M J. The steady-transient optimization of water transmission pipelines with consideration of water-hammer control devices: A case study[J]. Journal of Water Supply Research and Technology-Aqua, 2018, 67(6): 556－565.

[23] 王振华，马习贺，李文昊，等. 基于改进4-方程摩擦模型的输水管道水锤压力计算[J]. 农业工程学报，2018，34(7)：114－120.

Wang Zhenhua, Ma Xihe, Li Wenhao, et al. Calculation of water hammer pressure of flow pipeline based on modified four-equation friction model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(7): 114－120. (in Chinese with English abstract)

[24] Fan C Y, Zhang J, Yu X D. Analytical solutions for predicting the maximum pressure drop after pump failure in long-distance water supply project[J]. Water Science and Technology-Water Supply, 2018, 18(6): 1926－1936.

[25] Pandey R K, Mishra H K. Semi-analytic numerical method for solution of time-space fractional heat and wave type equations with variable coefficients[J]. Open Physics, 2017, 15(1): 74－86.

[26] Dai Y, Yan X, Sun C, et al. Semi-analytic numerical method for structure analysis of functionally graded materials[J]. Proceedings of the International Conference on Mechanical Engineering and Mechanics, 2007, 1(2): 1317－1321.

[27] Wylie E B, Streeter V L, Suo L. Fluid Transients in Systems[M]. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1993.

[28] Ghidaoui M S, Ming Z, McInnis D A, et al. A review of water hammer theory and practice[J]. Applied Mechanics Review, 2005, 58(1): 49－76.

[29] Wan W Y, Li F Q. Sensitivity analysis of operational time differences for a pump-valve system on a water hammer response[J]. Journal of Pressure Vessel Technology- Transactions of the Asme, 2016, 138(1):011303.

[30] Meng W W, Cheng Y G, Wu J Y, et al. GPU acceleration of hydraulic transient simulations of large-scale water supply systems[J]. Applied Sciences-Basel, 2019, 9(1):91.

Solving water column separation and cavity collapse for pipelines by semi-analytical method

Han Kai, Ding Falong, Mao Zeyu※

(,,100084,)

For pressurized water supply systems, excessive installation of air valves will inevitably increase the risk of secondary water hammer especially when the air valve fails. Therefore, reducing redundant air valves is of positive significance whether from the maintenance cost on apparatus or from the possible adverse impact caused by the malfunction. Compared to traditional analytical and numerical methods, the semi-analytical method adopted in this paper could not only ensure the clear and intuitive physical meaning of the research results but also expand the application scope of the analytical method, which was also conducive to the further study of key parameters. In this research, it aimed to find out the primary relationship between the function of air valves and the geometry characteristic of the system. Taking a simplified reservoir-pipe-reservoir system with one air valve installed at the elevated point for example, the research initially employed the basic theory of fluid transients to analyze the water hammer wave propagation process. Since the gas inhaled through the air valve separated the water column as the depressurized pressure arrived at the elevated point, the system was divided into 2 subsystems at the point according to their different wave propagation processes. The semi-analytical formulas of the target parameters such as the duration time of cavity growth and collapse, maximum air pocket volume and extreme pressure spike， were firstly proposed in a frictionless condition. Based on the formulas, it studied the key factors affecting the protective effect of the air valve against the water hammer. The semi-analytical solution indicated that the relative length of the downstream pipe section and the relative elevation of the high point played a leading role in the process of cavity growth and collapse. The effect of friction was later taken into the consideration of the semi-analytical expressions serving to reveal its influences on the system. Numerical simulations established on the method of characteristics, which had been proved to a credible and effective numerical method, were then conducted and compared with the semi-analytical solutions to validate the corresponding expressions with and without friction. The outcomes of the 2 approaches presented a consistent variation tendency with the principle variable. However, deviations still existed particularly when the targeted point had a relatively low elevation. The reasons for above deviations were discussed which probably stemmed from some hypotheses during the derivation of semi-analytic formulas, mainly including the omission of gas storage in the upstream section, linear and averaging treatment of the flow variation process in the derivation step. It could also be speculated from the results that the length and roughness of the downstream pipeline determined the maximum pressure spike and the specific pipeline elevation. The semi-analytical formula proposed in this paper was applicable to the containing-one-air-valve pressurized water supply system, and it required to be discussed in the future research for the complex system containing multiple water hammer protection devices with mutual influence. In spite of the limitations, the semi-analytical formulas still reflected the key factors correctly of the air valve as the protection device against water hammer. The findings are helpful to understand the action mechanism of the air valve in the hydraulic transition and provide references for the research of water hammer protection.

pressure; models; air valve; semi-analytical method; water column separation; cavity collapse; method of characteristics

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.15.005

TV131.2

A

1002-6819(2019)-15-0033-07

2019-03-24

2019-07-19

国家重点研发计划（2016YFC0402504）

韩 凯，博士生，主要从事水力学与河流动力学方面研究。Email：hk17@mails.tsinghua.edu.cn

茅泽育，教授，博士生导师，主要从事水力学与河流动力学方面研究。Email：maozeyu @tsinghua.edu.cn

韩 凯，丁法龙，茅泽育. 半解析法求解水柱分离与断流弥合水锤问题及机理分析[J]. 农业工程学报，2019，35(15)：33－39. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.15.005 http://www.tcsae.org

Han Kai, Ding Falong, Mao Zeyu. Solving water column separation and cavity collapse for pipelines by semi-analytical method[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(15): 33－39. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.15.005 http://www.tcsae.org