错位相减法的拓展及应用

黄冬明

(安徽省合肥市巢湖市第四中学 238000)

一、错位相减法的背景

在高中数学“等比数列前n项和”一节中，给出了等比数列{an}的前n项和Sn的推导方法：

Sn=a1+a2+…+an-1+an即

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1①，

等号两边同时乘以公比q得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②.

这类前n项和的计算首先在等式的两边同时乘以公比q，然后将新得到的等式和原等式相减，这种方法叫做错位相减法.

二、什么样的求和可以运用“错位相减法”

对于数列形如cn=an·bn，且{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列的求和问题就可以运用错位相减法.其一般形式的概括如下：

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn,

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an-1b1qn-2+anb1qn-1①,

①×q得

qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn②.

①- ②得

(1-q)Sn=a1b1+d(b1q+b1q2+…+b1qn-2+b1qn-1)-anb1qn.

三、错位相减法的运用

例1若数列cn=n·2n,求数列{cn}的前n项和Sn的表达式.

分析数列cn=n·2n可以看成是一个等差数列an=n和一个等比数列bn=2n的乘积，故可以用错位相减法来计算.

解Sn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n①,

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1②.

①- ②，得

-Sn=1×2+22+23+…+2n-n·2n+1,

所以Sn=(n-1)·2n+1+2.

错位相减法计算出错主要有如下几个方面：学生不知道何时使用错位相减法，两式相减时容易漏项或者符号出错，最后结果化简时学生信心不足.笔者在课下反思如何减少错误，能否用新方法代替错位相减法.

四、错位相减法的拓展及应用——裂项法

我们仍然以cn=n·2n为例，我们将{cn}的表达式进行变形如下n·2n=(an+b)·2n-[a(n+1)+b]·2n+1=2n·(-an-2a-b)，则a=-1,b=2.

因此n·2n=(-n+2)·2n-[-(n+1)+2]·2n+1，则

Sn=(-1+2)×2-(-2+2)×22+(-2+2)×22-(-3+2)×23+…+(-n+2)·2n-[-(n+1)+2]·2n+1.

仔细观察这个式子，这个式子从第二项开始，前一项和后一项互为相反数，则Sn=1×2-[-(n+1)+2]·2n+1=(n-1)·2n+1+2.

这个计算方法将数列cn=n·2n变成两个数列的差的形式，且求和时运用到类似裂项求和的思路.前面的变形计算比错位相减复杂一些，但求和过程很简单.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式：

(2)方法一：(错位相减法)

故3Tn=-2+3×31+5×32+7×33+…+(2n-3)×3n-2+(2n-1)×3n-1②.

方法二：(裂项法)

如果学生能够掌握此法的本质，那对数列求和真能起到质的飞跃，真正做到化“腐朽”为“神奇”． 但笔者认为，对大多数学生来讲只要认清数列本身的特点，选择适合的方法即可．