HDPE管在长距离输水管道工程中的应用

黄文强

（兰州市城市建设设计院，甘肃 兰州 730050）

1 工程概况

某县城工业园区供水工程的供水管道项目中，水源地至净水厂的地形高差大、输送距离远，属于长距离输水管道工程。该项目设计供水规模为29000 m3/d，水源地位于县城外的水库，该水库每天可提供30000 m3的水量，满足产业园区每天29000 m3的水量要求。水源地高程为2170.300 m，净水厂高程为2017.600 m，两地高差152.7 m，输送距离为13.64 km。由于水源地与净水厂间地形高差较大，因此优先选择有压重力输水方式。

2 管材选择

给水管道管材的选择，应根据管径、内压、外部荷载和管道敷设场地的地形、地质，按照运行安全、耐久、减少漏损、施工和维修方便、经济、安全等因素综合分析来确定。根据该工程的特点和选择管材的原则，该工程由于施工期短，球墨铸铁管等管材较重运输困难，而且在当地工业园区中就有生产高密度聚乙烯管的企业，因此该工程采用PE100级高密度聚乙烯管（HDPE），管道采用热熔连接。

3 管道系统设计

3.1 输水管道管径计算

输水管线最高日量29000 m3/d，最高日平均时供水量为1209 m3/h，输水管道应根据技术经济比较确定管径，应考虑到充分利用地形高差，使输送设计流量所采用的管径最小，以减少工程投资，但是当流速越大，运行时引起的水锤升压就越高，一般按经济流速0.9～1.5 m/计算管径，且不宜大于3 m/s。经计算敷设一根输水管，管径为DN560时，流速为1.711 m/s。

3.2 输水管道公称压力的确定

有压重力输水管道要求水源与净水厂的水头差大于输水管道的水头损失与净水厂所需水头之和，因此输水管的末端存在静水压。输水管道的公称压力应根据最大使用压力确定，在最大使用压力上附加0.2～0.4 MPa的安全余量，提高管道公称压力等级会相应提高工程投资，经过技术经济比较，该工程采用公称压力为Pn=1.0 MPa的HDPE管道。

3.3 管道水力计算

3.3.1 柯尔勃洛克-怀特

管道水力计算包括沿程水头损失计算和局部水头损失计算，沿程水头损失 hf=λ（L/d）×（v2/2g）是通用公式，而λ系数的取值与管道断面形状、管材、水流状态、水温等因素有关。供水管道水力计算公式常用的有满宁公式、海曾-威廉公式、达西公式、柯尔勃洛克-怀特公式、舍列维夫公式等，不同的公式有不同的适用范围，计算结果也略有不同。资料显示，柯尔勃洛-怀特公式最适合于PE、PP管的水力计算，现行《埋地塑料给水管道工程技术规程》（CJJ 101—2016）所采用的就是柯尔勃洛-怀特公式，管道沿程水头损失按下式计算：

其中水力摩阻系数λ系数按下式计算：

式中：di为管道内径，m；g 为重力加速度，9.81 m/s2；L为管段长度，m；Re为雷诺数；t为水温，℃；v为平均流速，m/s；λ为水力摩阻系数；γ为水的运动粘滞度，m2/s；Δ为管道当量粗糙度，一般取0.010～0.013×0.001；

由于给水管道采用热熔连接，接口处在管内壁形成了凸起的内环，由于缺少计算资料，因此管道局部水头损失按沿程水头损失的10%计算。

3.3.2 数值解法的选择

求解水力摩阻系数计算公式中的λ，可将公式变为求解方程（fλ）=0的方程，λ为变量，其余均为已知量，公式变为超越方程求解，对于此类一元非线性实函数，一般没有解析解，只能采用求近似解的数值解法。非线性方程数值解法有二分法、简单迭代法、牛顿迭代法及割线法等。

（1）二分法是将含根区间[a，b]逐次分半，检查小区间端点函数值符号变化，以确定更小的含根区间。具体作法是先取x0=(a+b)/2，如果 （fx0）=0，则x*=x0；否则 （fa）f（x0）＜0或 （fx0）f（b）＜0，且仅有一个不等式成立，若 （fa）（fx0）＜0，记a1=a，b1=x0，则 x*∈（a1，b1）。再取 x1=（ a1+b1）/2，若 f（x1）=0，则x*=x1；否则，可得 x*∈（a2，b2）。重复上述过程，经 k 次等分后有根区间为（ak，bk），且（bk-ak）/2≤ε。取xk=（ak+bk）/2作为所求根x*的近似值。二分法的优点是程序简单，对函数（fx）光滑性要求不高，收敛速度与公比为1/2的等比级数相同，收敛速度较慢，适于求初始近似值，然后再用其它方法进一步精确化。

（2）简单迭代法是用极限过程来逐步逼近所给问题精确解的计算方法，是在计算过程中常用的一种方法。用迭代法求非线性方程（fx）=0的近似根，首先需要将方程（fx）=0改写成等价方程x=g（x），g（x）为连续函数，当｜g（x）′｜＜1，g（x）为迭代函数，对于方程 x=g（x），选取初选值 x0，构造序列 xk+1=g（xk）（k=0，1，2...），当 k→∞ 时，如果迭代过程收敛，xk→x*，则x*为方程的解。其收敛速度为线性收敛。

迭代过程的几何意义就是在xy平面上确定曲线 y=g（x）与直线 y=x 的交点，首先在曲线 y=g（x）上可确定一点P0，过P0引平行x轴的直线，设此直线与直线y=x交于点Q1，然后过Q1再作平行于y轴的直线，它与曲线y=g（x）的交点记作P1，过P0引平行x轴的直线与直线y=x交于Q2，如此继续做下去可得到点Pk趋近于P*点，其横坐标xk→x*。

（3）牛顿迭代法也称切线法，对于任意x∈（x*，δ），若 f′（x）≠0，初选值 x0∈（x*，δ）做迭代，xk+1=xk-f（xk）/f′（xk），（k=0，1，2...）

牛顿迭代法的几何意义：在曲线y=f（x）上从初值所对应的点P0（x0，f（x0））做切线，以切线与x轴的交点x1=x0-f（x0）/f′（x0）作为f（x）=0的根x*的近似值，反复重复这个过程，得到点列{xk}，xk趋近x*，其收敛速度不低于二阶。当初值x0离x*较近时，收敛速度很快，但当x0离x*较远时，有时会出现发散的情况，此时可以采用牛顿下山法，xk+1=xk-βf（xk）/f′（xk），（k=0，1，2...），β 称为下山因子，为了保 证满足｜f（xk+1）｜＜｜f（xk）｜，依次取β=1，1/2，1/22，...，试算直到上式成立，再转向下一步迭代，牛顿下山法的优点是对初值x0的选取无限制，即使使用牛顿法不收敛的x0，运用下山法几次迭代后，其迭代值进入收敛区域，但下山法不再具有平方收敛的速度。

（4）对于一个复杂的 f（x）函数，当求导困难时，可以采用割线法，割线法分为单点割线法和两点割线法。将牛顿迭代公式中的f（x）′用差商来代替，令f（x）′≈（f（xk）-f（x0））/（xk-x0），得到单点割线 法 ，选 初 值 x0，x1，xk+1=xk-f（xk）/（f（xk）-f（x0）），（k=1，2...）；若令 f（x）′≈（f（xk）-f（xk-1））/（xkxk-1），则得到两点割线法，选初值x0，x1，xk+1=xk-f（xk）/（f（xk）-f（xk-1））。

单点割线法是用过点（x0，f（x0））和（xk，f（xk））两点的割线与x轴交点的横坐标xk+1作为x*的近似值。选初值x0，函数在f（x1）f（x0）＜0，则方程在区间（x0，x1）内至少有一个实根，单点割线法要求f′（x）和 f＂（x）在区间内不变号，而对于两点割线法则无此要求。两点割线法的几何意义是用过点（x0，f（x0））和（x1，f（x1））两点的割线与x轴交点的横坐标x2作为x*的新近似值，重复此过程，用过点（xk，f（xk））和（xk-1，f（xk-1））的割线与x轴交点的横坐标xk+1作为x*的下一近似值。

单点割线法的迭代函数，满足 0＜｜g′（x*）｜＜1，是局部收敛且为线性收敛；双点割线法的收敛阶p=1.618...，具有较快的收敛速度，但随着xk→x*时，（fxk）-（fxk-1）不断减小，有效位数大大减少，用它做分母将导致很大的误差，从而影响计算结果。

3.3.3 用牛顿下山法计算柯尔勃洛-怀特公式

数值计算中选用的算法不同，其计算的效率也不相同，选用效率高的算法不仅可以提高解题速度，而且可以减少误差产生的机会，减少误差的积累，同时考虑到初值选取对计算的影响，本文采用牛顿下山法计算柯尔勃洛-怀特公式。

将公式 1/λ1/2=-2log[2.51/Re λ1/2+Δ/3.72di]写为函数f（λ）=0的形式，得到方程

f（λ）=1/λ1/2+2log[2.51/（Reλ1/2）+Δ/3.72di]=0（5）式中：f（λ）中λ为自变量，其余均为常量，方程f（λ）=0有实根时λ的取值区间为（0，∞），函数f（λ）在定义域（0，∞）内连续，令 x=1/λ1/2，a=2.51/Re，b=Δ/3.72di，则函数 f（λ）变为 f（x）=x+2log（ax+b），对函数f（x）求导得到

由于变量x及常量a、b均大于0，则在定义域内f（x）′＞0，f（x）＂＜0，函数在（0，∞）上的图形是凸的。由于函数f（x）单调递增，则函数与横轴x交点唯一，方程f（x）=0仅有单根。迭代公式为

依次取β=1，1/2，1/22，...试算，直到｜f（xk）｜＜｜f（xk-1）｜，之后继续由迭代公式进行计算，直到｜xk+1-xk｜满足绝对误差限ε的要求。计算出方程的近似解 x*=xk+1后，再由 x=1/λ1/2算出 λ。

用自然语言描述牛顿下山法算法如下：

第一步，取值 x0，ε，N（ε 为绝对误差限，N 为设定的最大迭代次数）；

第二步，令0≥k；

第三步，令1≥β；

第四步，当k≤N时，计算f′（x0）；

第五步，判断 f′（x0）=0 是否成立，若是，则 x0为解，输出 x*=x0，停止；若不是,输出 f′（x0）；

第六步，计算f（x0）；

第七步，计算x=x0-βf（x0）/f′（x0）；

第八步，计算f（x）；

第九步，判断｜f（x）｜＜｜f（x0）｜是否成立，若是，则输出x；

若不是,则β/2≥β，返回第七步；

第十步，判断｜x-x0｜＜ε 是否成立，若是，则 x 为解，输出 x*=x，停止；若不是，则 k+1≥k，x≥ x0，返回第三步；

第十一步，已迭代N次仍未达到精度要求，停止；

上述算法计算时需要先人工计算出函数的导数f（x）′，之后再由C语言、FORTRAN语言等进行编程计算，如果使用Matlab软件编程计算，可由程序语句直接求得函数导数f（x）′，使得复杂函数的编程计算更加便捷，在缺少以上工具时也可使用Excel软件进行计算。

根据该工程已知条件，v=1.711 m/s，di=0.5 m，t=12℃，ε=0.00005

计算可得 γ=1.236×106 m2/s，Δ=0.00001，Re=692150.107；

使用Excel软件进行计算，当x0取初值x0=5时，经过3次迭代就得到了满足绝对误差限ε要求的｜x3-x2｜，3.64×10-5＜0.00005，此时 λ=0.01276，管道沿程水头损失为每公里3.8 m，局部损失为沿程损失的10%，总水头损失为每公里4.18 m。

3.4 减压池的设置

根据该工程水力计算结果，输水管道起点k0+000（高程为 2170.300 m），终点 k13+640（高程为2017.600 m），两地高差150.7 m，需要在k3+910（高程为 2104.300 m），k11+310（高程为 2034.800 m）处分别设置减压水池一座，共计两座减压水池，k3+910处末端静水压为49.656 m，k11+310处末端静水压为38.568 m，k13+640，k13+640处末端静水压为7.461 m，可满足管道内最大使用压力不超过设计值，同时满足输水所需压头。为了消除水锤的危害，在管道沿线高点以及直线管段每隔约1 km设置弥合性水锤预防阀一个。

4 结 论

输水管道在条件允许时采用有压重力流输水,通过计算合理选择管材及管径，并且根据管道公称压力在适当位置设置减压池，具有投资省、运行成本低、管理方便等诸多优点，是一种理想的输水方式。