如何确定外接球球心的位置

朱贤良

摘 要：在确定空间几何体外接球球心的位置时，其一般途径是从平面图形的外接圆拓展到空间几何体的外接球，同时要注意两个特殊模型的应用：长方体的对角线即为其外接球的一条直径、由共斜边的两个直角三角形所围成的三棱锥的外接球的一条直径就是这条公共斜边.

关键词：外接球;球心;外心;长方体

直观想象是数学核心素养之一，强调借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形来理解和解决数学问题.在高中数学学习过程中，直观想象素养的培养与考查常通过三视图、空间平行与垂直、空间角与距离等问题展开.随着全国高考命题的统一，有关空间几何体的外接球问题日益受到重视，成为考查直观想象素养的又一热门题型.

求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据不外乎球心的两个特性：一是球心到球面上各点的距离都等于半径;二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面（球的截面圆性质）.由此出发，或利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心.

1 长方体的外接球

长方体的外接球问题是大家比较熟悉的外接球问题，长方体的体对角线是其外接球的一条直径，体对角线的中点即为外接球球心.具体地说，如果长方体在同一个顶点处的三条棱长分别为a，b，c，根据体对角线长等于外接球直径，可得a2+b2+c2=2R，即外接球半径为R=a2+b2+c22.

例1 （2017年全国Ⅱ卷文15）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积.

简解 设球O的半径R，则R=32+22+122=142，故球O的表面积S=4πR2=14π.

点评 长方体是重要的立体几何模型，在认识空间结构特征、培养直观想象素养中发挥着基础的作用.在解决空间几何体的外接球问题时，要充分借助长方体模型的几何特征，简化求解过程.

例2 （2010年遼宁卷文11改编）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，AC=2，则球O表面积等于.

简解 将图1中的三棱锥S-ABC补形成图2中的长方体，显然三棱锥S-ABC的外接球O与长方体的外接球为同一个球.因为长方体的长、宽、高分别为2，1，1，故外接球O的半径R=2+1+12=1，其表面积S=4πR2=4π.

点评 当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进而借助长方体的外接球模型来实现求解.

例3 （2008年浙江卷理14，文15）如图3，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.

简解 如图4，将原三棱锥补形成正方体，其棱长为3，故球O的半径R=3+3+32=32，其体积V=43πR3=92π.

点评 本题中，三棱锥D-ABC的底面ΔABC为直角三角形，过锐角顶点A的侧棱与底面垂直，具备此几何特征的三棱锥（四个面均为直角三角形）即可补形成长方体.若过底面三角形的直角顶点B的侧棱垂直于底面，则此模型即为例1与例2中的三棱锥.

例4 （2013年辽宁理10，文10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）.

A.3172  B.210  C.132  D.310

简解 直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，可将其补形成长方体，且该长方体的长、宽、高分别为4，3，12，故其外接球O的半径R=42+32+1222=132，正确选项为C.

点评 当直三棱柱的底面恰为直角三角形时，两个这样完全相同的三棱柱可拼接成一个长方体.需要注意的是，直三棱柱必须具备底面为直角三角形、侧棱与底面垂直这两个几何特征.

2 由共斜边的两个直角三角形所围成的三棱锥的外接球

外接球的球心到球面上每一点的距离均为半径R，可以根据外接球球心的这一特征来确定球心的位置.比如，若四面体ABCD是由共斜边的两个直角三角形所围成的，如图7所示，ΔABC与ΔABD均为直角三角形，AB为公共的斜边，O为AB的中点，则根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知，OC=OD=OA=OB，即点O到四点A，B，C，D的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边AB就是外接球的一条直径.

例5 在三棱锥P-ABC中，PA=2 3，PC=2，AB=7，BC=3，∠ABC=π2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）.

A.4π   B.163π   C.323π   D.16π

简解 如图7，在RtΔABC中，斜边AC=AB2+BC2=4.在ΔPAC中，PA2+PC2=16=AC2，故∠APC=π2.所以，AC的中点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，半径R=12AC=2，外接球的表面积S=4πR2=16π，故选D.

点评 本题在求解过程中，需要从边长关系出发来认识三棱锥模型，把握“共斜边的两个直角三角形”这一典型几何特征.

例6 如图8，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD，点O为对角线AC与BD的交点.若PB=1，∠APB=π3，则三棱锥P-BCO的外接球的表面积为（ ）.