关于“双零点”数量关系的探究

■(指导教师：刘坤)

导数是研究函数性质的一个非常重要的工具，是学习中的重点，也是难点，在高考中占有重要的地位。在导数的学习中，我发现有一类“双零点”数量关系问题在2016年及2018年全国新课标卷中均有所涉及，这引起了我极大的兴趣。下面是我对这一类问题的一些粗浅认识，希望能给同学们一些帮助，不足之处，再商榷。

我们先来熟悉一下对数平均不等式，对数平均不等式：当a＞0，b＞0且a≠b时，

证明：不妨设a＞b＞0。要证，由于a＞b＞0，只需证lna-lnb＜，即证①。令t=，构造函数，则f′(t)，所以f(t)在(1，+∞)上单调递减。因此f(t)＜f(1)=0，即①式成立。

例题已知函数f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2＞2。

证明：由于f(x1)=f(x2)，得令，不妨设x1＜x2，则0＜t＜1。由解得

要证x1+x2＞2，只需证即证令g(t)=lnt-则所以g(t)在(0，1)上单调递增，因此g(t)＜g(1)=0，即不等式①成立。

点评：此证法通过降元，将双元不等式转化为单元不等式，再构造函数求解，体现了消元的思想。

变式练习：已知函数若x1，x2为f(x)的两个极值点，且x1＜x2，求证：x1x2＜1。

证明：令g(x)=f′(x)=x+m-1-lnx，则，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。又g(x1)=g(x2)，因此0＜x1＜1＜x2。要证x1x2＜1，只需证又1)，g(x)在(0，1)上单调递减，即证g(x1)＞又g(x1)=g(x2)，即证g(x2)＞，构 造 函 数(x＞1)即可。

下面请同学们试一试身手，挑战一下一道高考题吧!

题目(2016年新课标卷21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(1)求实数a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2＜2。