方向引领方法

沈妍隽

[摘  要] 在数学教学中，或许教师在教给学生解题方法的时候，应该更多地帮助他们指明解题方向，让他们拥有解题之路的指南针. 所以教师的作用就是要通过平时的不断训练和经验总结，培养学生的直觉思维，让思维有一定的指向性，使学生的解题能力得到提高.

[关键词] 学科价值;方向性;直觉思维

数学家波利亚在《怎样解题》中写到：“是的，这个解答看起来是行的，它似乎是正确的，但怎样才能想到这个解答呢？是的，这个实验看起来可行，这似乎是事实，但是人们怎么发现这个事实的？而我自己如何才能想到或发现它们呢？”一语惊醒梦中人！这不正是我们初中数学教师在教学中的难点且需要突破的吗？我们经常面临这样的场景：当老师给学生讲解习题，尤其是略有难度的题目时，有时候可能只需要老师点一下，学生就茅塞顿开，惊呼：“我当时怎么没想到呢？这么简单！”学生真的是笨吗？真的是数学知识储备不足吗？做的题目还不够多吗？我们教师不应该反思吗……为什么我们给了学生这么多方法，这么多“武林秘籍”，他们就是不会用呢？

下面以一个初三习题为例，来说明解题方向对解题方法的影响.

在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（-6，0）两点，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标是多少？

题目背景  此题是出现在初三学生的一次周末家庭作业中，第一轮复习已经结束，第二轮专题复习正在进行中，主要就是想强化学生的方法性思考，从而培养其数学直觉和能力. 笔者在周一的批改过程中，发现好几位同学都对了，所以在课堂上就尝试让学生上黑板讲解，尤其要求学生讲出他是怎么想到这种方法的. 结果发现，学生的思路真的很开阔，而且突破口抓得既巧妙又合情合理，甚至有的方法笔者自己都未曾想到. 这说明学生在第一轮复习中，已经很好地自我修复和构建了多种数学模型或者说思想方法. 课后，笔者将学生的思路提炼出了四种较经典的代表，整理如下.

思考方向1  学生甲提供，他是我们班级的学霸，很多时候，他总能透过现象看本质，从而巧解各类难题. 他的思考方向是由定边加定角想到构建隐圆. 根据动点C在动的过程中，保证∠BCA不变，所以联想到圆中同弧所对的圆周角都相等，且等于所对圆心角度数的一半，从而想到建立圆来解决问题，找到解题方法. 即建立隐圆如下：如图1，以P（-1，5）为圆心，PB=5 为半径的圆，交y轴于点C，结合△PCF用勾股定理求得CF=7，从而求得点C坐标（0，12）以及其对称点（0，-12）.

思考方向2  学生乙提供，他从初一到初三的数学都是由笔者任教，所以对于笔者平时在教学中用到的模型，应用起来比其他同学更得心应手. 他的思考方向是由“一线三等角”模型展开. 所谓一线三等角模型即三个等角顶点在同一直线上，如图2所示，则总可以证明两侧两个三角形相似. 在学生熟知这个模型的基础上，确立了构建45°一线三等角模型的思考方向. 解题分析如图3所示.

解题思路如下：构建图3，∠D和∠E都等于45°，可证得△BCD∽△CAE，从而得到 = ，即 = ，可求得CO=12，即得点C（0，12）或对称点（0，-12）.

思考方向3  由学生丙提供，此学生的数学成绩并不是非常突出，所以他能解决这个问题，确实让笔者比较惊喜. 他没有用什么模型，只是由45°角直觉想到构建等腰直角三角形，且充分利用已知数据6和4，从而得到一些新数据，并在构建等腰直角三角形的同时，用45°角观察到产生的一些相似三角形，由此可尝试解决. （其实此法也是上题一线三等角的变式）

解题思路如下：如图4，构建等腰直角三角形△BOE和△AOD，得到新数据BO=OE=6，BE=6 ，AO=DO=4，AD=4 ，DE=2，可证得△BCE∽△CAD，得到 = ，即 = ，可求得CE=6，故CO=12，即得点C（0，12）或对称点（0，-12）.

思考方向4  由学生丁提供，该生记忆力比较好，曾经做过的题目，他都会有较深印象. 他的思路是由第一轮复习中的一个旋转题拓展而来. 他想到将两个独立小三角形分別往两侧旋转，从而构建出一个正方形，再借助勾股定理解决.

解题思路如下：旋转△AOC、△BOC得△BEC和△ADC，延长EB，DA交于点F，可证得正方形CEFD，CE=CD=EF=DF=CO，在△ABF中，由勾股定理：BF2+AF2=AB2，通过等量代换可得：（CO-4）2+（CO-6）2=102，解得CO=12，即得点C（0，12）或对称点（0，-12）.

通过一道小小的练习题，学生们就根据自己的思考方向不同，得出来这么多精彩的方法，这不得不让笔者感到欣慰和感叹！数学的解题方法千千万万，我们要做的并不是让学生掌握每一种方法，而是要他们学会自己去思考、分析、解决. 这更坚定了笔者对“方向比方法更重要”这句话的认识，只有正确的思考方向才能引领好的解题方法. 这就需要我们教师在平时教学中引导学生多问为什么，如“这个题目为什么可以这么解？”“为什么他会想到这种方法？”教他们学会从条件和结论中，最大限度地提取有用信息，将显性、隐性信息和不同数学知识联系起来，再联系最近发展区中的数学知识结构，推动信息的延续，产生解题方向. 手握“指南针”，构建成已有数学模型，形成方法，最终化为行动.

这也正是学科教学根本价值的体现，让学生学会思维、形成习惯、积累教养，将学习中的思维过程、方法策略内化为学生走向社会解决具体问题的基本技能、基本思想、基本态度和基本素质. 这何尝不是我们生活的智慧呢？只有明确了人生努力的方向，才有可能尽最大力量去寻找最佳方法来实现它！