非高斯白噪环境下基于空时波束形成算法

梁 楠，张 伟，安浩平

(1.河南省科学院应用物理研究所有限公司，河南 郑州 450008；2.河南省物联网感知技术与系统重点实验室，河南 郑州 450008)

0 引 言

常规的时域或变换域滤波技术无法将宽带干扰与热噪声区分开，而波束形成技术是通过波束赋形得到期望方向的信号，抑制不需要方向的干扰。I.S.Reed提出了经典的采样协方差矩阵求逆(SMI)方法[1-2]，该算法以输出功率最小为准则，同时约束期望信号方向增益最大。1972年，Frost[3]提出了空时自适应处理(STAP)结构，通过同时联合处理多元天线阵与多个相参脉冲接收到的数据，使杂波抑制在空时二维空间中进行，命名多线性约束最小方差(LCMV)处理器。Brennan[4-5]等人基于雷达系统讨论了STAP结构，应用于消除干扰、杂波以及干扰多径信号。以上传统算法是以精确的阵列流形为前提设计，假设噪声是高斯白噪声，但是由于互耦误差等因素的影响，实际的阵列流形往往出现一定程度的偏差或扰动，噪声的谱特性往往是一种变化且不容易测量的形式，并非高斯白噪声。例如，在对系统中的空间噪声测向时，其空间相关矩阵偏离对角阵而表现出相关性。这些不理想因素导致传统方法一定程度的失效，近几年，非理想环境下的稳健波束形成算法[6-8]成为研究热点。

本文利用高阶累积量具有盲高斯特性，提出了非高斯白噪环境下空时宽带波束形成算法。首先分析了四阵均匀圆阵高阶累积量去冗余方法，通过虚拟阵元[9]准确估计干扰信号来波方向，从而构造出空时二维导向矢量矩阵。利用QR分解构建干扰空时二维导向矢量的阻塞矩阵，对阻塞矩阵线性组合以期望信号空时二维导向矢量为约束，最后利用最小二乘法求解空时滤波权值。该算法可以加深传统算法形成零陷深度，使干扰抑制在非高斯白噪环境下有效进行。

1 信号模型

考虑M个相同的全向阵元以均匀圆阵分布，阵列的圆心位于原点，半径为R=λ/2，λ为载波信号的波长。定义俯仰角θ∈[0,π/2]是原点到信号源的连线与法向之间的夹角，方位角φ∈[0,2π]则是原点与第一阵元连线逆时针方向到信号源在水平面上的投影与原点连线之间的夹角。则空间远场平行波s(t)的空域导向矢量为：

SS=[ejξcos(φ-r1),ejξcos(φ-r2),…,ejξcos(φ-rm)]T

(1)

其中ξ=2πRsinθ/λ，rm=2π(m-1)/M，m=1,2,…,M。

如图1所示，设计空时滤波器。每路阵元采样数据快拍时延为T，要求T小于1/B，B为信号带宽，每路阵元采样数据的处理相当于一个N阶的FIR滤波器。设ωt是时间归一化频率，时域矢量表示为St=[1,ejωt,…,ej(N-1)ωt]T，则得到空时二维导向矢量：

a=Ss⊗St

(2)

式中，⊗为可罗奈克积。波束形成系数为{wmn},n=1,2,…,N,m=1,2,…,M，

w=[w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,wM1,…,wMN]T

(3)

当空间存在D个远场的宽带信号si(t),i=1,2,…D，则整个均匀圆阵阵列接收到的信号可表示为：

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…nM(t)]T

(5)

其中ai表示入射方向为(θi,φi)的远场平行波si(t)的空时二维导向矢量。N(t)为阵列的高斯白噪声，nm(t)为第m个阵元通道的热噪声，m=1,2,…M。

对于多线性约束LCMV处理器[3]设定K个约束，第k个约束是平面波以(θk,φk)入射到阵面时，阵列的输出为bk，类似的可以得到第k个约束方程为：

(6)

所以K个线性约束的最小方差(LCMV)优化方程如下，Rxx=E[XXH]为接收数据的协方差矩阵。

MinE{|y(n)|2}=wHRxxw

s.t.CHw=b

C=[a1,a2,…,aK]

b=[b1,b2,…,bK]T

(7)

利用拉各朗日乘子法可以推导出多约束最小方差处理器的解为：

(8)

2 高阶累积量调零波束形成算法

阵列扩展的概念早在Dogan和Mendel等提出的虚拟相关计算法[9]中得以证明。高阶累积量方法可以有效扩展阵列孔径，抑制高斯色噪声[10,11]。考虑到空时波束形成器输入信号包含高斯过程的噪声和非高斯过程的信号，阵列接收信号的四阶累积量[12]可以写为：

R4=cum{xk1,xk2,xk3,xk4}

∀k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M}

(9)

观测信号X对应的四阶累积量矩阵表示如下:

(10)

式中，cum{·}为累积量；E{·,·}和E{·,·,·,·}分别对应为X的二阶矩、四阶矩。

利用有限的实际快拍数构造四阶累积量矩阵。

(11)

(12)

简化可得：

C4x=E{(X⊗X*)(X⊗X*)H}-E{(X⊗X*)}

E{(X⊗X*)H}-E{XXH}⊗E{(XXH)*}

(13)

结合小型化抗干扰卫导应用需求，通常以四元均匀圆阵为例，阵元按逆时针方向均匀分布在半径为R的圆周上,假设四个阵元的坐标依次是Z1,Z2,Z3,Z4，对四元均匀圆阵进行四阶累积量阵列扩展，扩展出16个虚拟阵元，除去重合位置阵元，非重合虚拟阵元坐标为：

Z1-Z1,Z1-Z2,Z1-Z3,Z1-Z4,Z2-Z1,

Z2-Z4,Z3-Z1,Z3-Z2,Z4-Z2

(14)

由此可以得到最小冗余的观测信号矩阵：

(15)

SS=[ejξcos(φ),ejξcos(φ-π/2),ejξcos(φ-π),ejξcos(φ-3π/2)]T

(16)

而与最小冗余的观测信号对应的阵列流型矩阵为：

Ar=[1,ejξ(cosφ-sinφ),ejξ2cosφ,ejξ(cosφ+sinφ),

ejξ(sinφ-cosφ),ejξ2sinφ,e-jξ2cosφ,e-jξ(cosφ+sinφ),e-jξ2sinφ]T

(17)

假设入射到阵列上的D个信号(M>D)来波方向分别是{(θ0,φ0),(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}，期望信号的DOA为(θ0,φ0)，其余为D-1个干扰信号的DOA。根据最小冗余的观测信号Xr和阵列流型Ar构造MUSIC估计函数：

(18)

λ1≥λ2≥…≥λD-1>λD=…=λM=σ2

(19)

US是由D-1个大特征值对应的特征矢量张成的子空间，即干扰信号子空间。而UN是由小特征值对应的特征矢量张成的子空间，即噪声子空间。

(20)

与PMr(θ,φ)的谱峰对应的{(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}即为干扰俯仰角和方位角的估计。

根据公式(2)构造期望信号加干扰信号的空时二维导向矢量。为了保证期望信号来向的增益，同时抑制干扰，在准确估计出的所有干扰来向上形成零陷，得到如下约束条件：

(21)

根据空时陷零条件，可以设计MN×Z维的正交基矩阵H满足方程组，

HH[Ss(θj,φj)⊗St]=0j=1,…,D-1

(22)

对应所有干扰信号空时导向矢量矩阵表示为：

AJ=[Ss(θ1,φ1)⊗St,…,Ss(θD-1,φD-1)⊗St]

(23)

考虑干扰信号波达方向{(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}各不相同，AJ是列满秩矩阵。通过QR分解得到所有干扰空时导向矢量矩阵的正交基矢量Q，表示如下：

Q=[q1,q2,…,qMN]

(24)

矩阵Q是一个正交矩阵，前D-1个矢量张成的空间与后MN-D+1个列矢量所张成的空间正交，不妨取MN-D+1个正交矢量作为AJ的正交基矢量，则

H=[qD,qD+1,…,qMN]

(25)

此时对正交基进行线性组合即得到干扰陷零的空时二维权矢量w，

w=H[d1,d2,…,dMN-D+1]T=Hd

(26)

同时为了满足公式(21)，约束波束在期望信号方向增益最大，使得w=Ss(θ0,φ0)⊗St，也就是Hd=Ss(θ0,φ0)⊗St，这个方程的系数矩阵H列满秩，属于超定方程，所以矢量d可以用最小二乘法(LS)求得，

d=(HHH)-1HH[Ss(θ0,φ0)⊗St]

(27)

代入公式(26)，可以得到最后的权矢量

w=H(HHH)-1HH[Ss(θ0,φ0)⊗St]

(28)

工程应用中考虑到波束形成算法的时效性，高阶累积量算法可以简化矩阵处理维数，以四阵元为例，四阶累积量矩阵可简化为9维。则计算量为(M2/2+1)2+M2N，但本文算法节省了传统空时自适应处理中MN维矩阵求逆计算，用最小二乘法求解权值，使工程应用成为可能。

3 性能仿真

针对实际应用存在互耦误差，噪声的谱特性非高斯白噪声，此时空间相关矩阵偏离对角阵而表现出相关性等情况，计算机仿真比较本文算法与传统算法干扰DOA估计误差，以及DOA失配情况下不同算法波束形成性能。

实验1：采用四元均匀圆阵结构，阵元间距d=λ/2，模拟远场互不相干宽带干扰3个，干扰功率依次为-40 dBm、-50 dBm、-60 dBm，干扰方向分别是(60°，100°)、(70°，180°)、(50°，250°)，噪声功率为-101 dBm，接收数据快拍数为5000。仿真比较传统MUSIC算法和本文四元阵虚拟去冗余算法空间谱估计的等高线结果，如图2所示。通过比较可以看出，在期望信号、宽带干扰、非高斯白噪声等仿真环境相同的情况下，MUSIC算法DOA估计角度发生模糊，三个干扰位置峰值均不明显，而本文提出的四元均匀圆阵最小冗余累积量算法可以准确估计干扰方向。

图2 非高斯白噪环境两种算法空间谱估计等高线图

实验2：仿真采用四元均匀圆阵空时滤波结构，每路阵元时域延迟单元为8，期望信号方向是法向，模拟产生互不相干宽带干扰3个和非高斯白噪声环境。图3给出输入干信比从0 ～80 dB变化时，传统的宽带多线性约束(LCMV)、功率倒置宽波束形成算法以及本文算法干扰抑制后的输出信干噪比。从结果可以看出，功率倒置宽波束形成由于没有在信号带内进行方向约束，所以期望信号一定程度上被抑制掉。LCMV算法约束期望信号方向增益，但在非高斯白噪声环境下干扰抑制不完全。本文算法加深了干扰零陷，随干扰功率增强抑制能力越明显，对系统信干比有良好的改善，从而提高了输出信干噪比。

图3 三种波束形成算法输出信干噪比

实验3：实际互耦因素影响下会导致导向矢量失配，仿真指向误差从0°～10°变化时波束形成输出信干噪比结果。仍然采用四元均匀圆阵空时处理器，模拟三个宽带干扰，功率依次为-40 dBm、-50 dBm、-60 dBm，干扰方向分别是(30°，70°)、(40°，130°)、(50°，200°)，期望信号方向是(10°，20°)，噪声功率为-101 dBm，输入信噪比-29 dB，仿真给出标准Capon波束形成[13]算法和LCMV波束形成算法的结果，如图4所示，证明本文算法在导向矢量失配情况下对干扰抑制的有效性。

图4 输出信噪比随角度失配变化曲线

4 结 语

本文分析了卫星导航接收机由于互耦误差和扰动而引入非高斯白噪声环境，传统算法会因此受到影响。针对工程上采用空时宽带波束形成器，提出了一种加深零陷的非高斯白噪环境下空时波束形成算法。算法设计了四元均匀圆阵去冗余的四阶累积量矩阵，通过虚拟阵元准确估计干扰信号波达方向，构造干扰空时二维导向矢量矩阵并求解阻塞矩阵，对阻塞矩阵线性组合以期望信号空时二维导向矢量为约束，最后利用最小二乘法求解空时滤波权值。算法可以在非高斯白噪声环境下有效抑制干扰，计算机仿真实验验证算法的有效性。