基于“问题链”的数学解题教学

江苏省盐城中学 喻峥惠

数学学习离不开解题，解题教学在高中数学教学中具有举足轻重的地位与重要的现实意义.长期以来，数学解题教学始终摆脱不了“教师讲解例题，学生练习强化”的固化模式.不可否认，这种做法能够在短时间内快速提升学生的解题能力，但对于学生独立探索与自主学习能力的形成却收效甚微，学生一旦遇到“不熟悉”的题目就很可能出现“手足无措”的状况，这也就导致了当前的数学解题教学直接陷入“教师担心讲不到位，学生担心练不全面”的焦虑中.“问题链”可以有效弥补当前解题教学存在的这些不足，在数学解题教学中引入问题链的设计理念简直就是“如虎添翼”.下面笔者以一类“含参函数的取值范围”问题为例谈谈对此的看法.

例题 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）上有两个零点，则a2-2b的取值范围是______.

这类多参数问题一直是高考的热点与难点，尤其是以二次函数作为载体呈现的含参取值问题更是常考常新，正所谓“无参不成题”，随着参数的增加，目标函数的结构趋于复杂化，学生见了更是望而生畏，无从下手.

一、设计启发式问题链把握解题方向

对于这类题的教学，教师不要急于抛出正确的解题思路，而应该从宏观的角度帮助学生准确把握解题方向.万变不离其宗，这类题看似陌生，其实也是基于学生熟悉的题型改编而来的，也同样遵循通性通法.因此，设计启发式的问题链就显得尤为重要.启发式问题链旨在通过精心设计的问题预设唤醒学生的已有认知，引导学生逐步走出思维的困境，克服畏难的情绪.

问题1-1：以前有没有做过类似的题目，请举例说明？

这类问题的原型是“二次函数的零点分布”：已知函数f（x）=x2-x+b（b∈R）在区间（0，1）上有两个零点，求b的取值范围.

问题1-2：零点分布问题的解题思路是怎样的？

零点分布问题的一般处理技巧是利用数形结合思想，围绕着“端点、△、对称轴”三个角度写出约束条件，通过约束条件来求参数的取值范围.

问题1-3：这个问题与零点分布问题有什么区别？

与一般的零点分布问题相比包含了多个参数，而且最后要求的并非是某个参数的取值范围，而是一个“式子”，即目标函数的取值范围.

问题1-4：这个问题能否套用零点分布的解题思路？

问题1-5：看到这组约束条件，你认为存在什么困难？

主要困难有两个：一是目标函数中出现的非线性关系“a2＞4b”究竟表示什么几何意义？二是如何建立约束条件与目标函数“z=a2-2b”的联系？

问题1-6：如果分别用x，y替换a，b，那么上述两个式子分别表示什么？

图1

x2＞4y⇒y＜表示的是抛物线下方的区域；，z表示的是抛物线与可行域有交点时，在y轴上的截距的-2倍.

因此，如图1所示，z=a2-2b∈（0，2）.

启发式问题链的最大优点是学生在教师的引导下，经历了一种抽丝剥茧式的思考过程，进而使学生自然地发现解题思路，避免了教师“唱独角戏”的尴尬.

二、设计递进式问题链明确解题思路

递进式问题链，是根据事物之间的必然联系，利用正向或逆向的思维方式提出一连串的由浅入深的问题组.相比启发式问题链的“启发、诱导”功能，递进式问题链所起的作用就是“推进、驱动”.教师把问题分成若干个不同的层次，然后由浅入深地设计问题，通过一环扣一环、一层进一层的递进式提问，在消除学生思维障碍的同时进一步拓展学生思维的深度与广度，使学生掌握解这一类题的通性通法.

问题2-1：函数的零点与方程的根、图像的交点有什么联系？

函数零点、方程根、图像交点本质是相同的，它们可以相互转化，思考的视角不同引发了名称上的差异.问题2-2：尝试利用方程根的视角对例题进行分析.问题2-2-1：系数a、b与方程的根有什么联系？能否用方程的根来表示系数.

韦达定理是沟通根与系数关系的桥梁，设函数f（x）在（0，1）上的两个零点为x1，x2∈（0，1），则所以

问题2-2-2：上述解题思路的核心是什么？

本质上是换元思想，用根来表示系数，使目标函数的形式发生变化，变得容易求值.一般情况下，我们习惯上用系数来表示根，但现在也可以尝试用根来表示系数.

问题2-3：尝试从图像交点的视角对例题进行分析.

问题2-3-1：能否把函数f（x）=x2+ax+b的零点问题转化为图像的交点问题？

f（x）=x2+ax+b=0⇔-x2=ax+b，零点问题就转化为抛物线与直线的交点问题.

问题2-3-1能否用图像的交点视角解决例题？

由于目标函数a2-2b很难直接与“图像交点”联系起来，所以此方法不是很有效.

问题2-4：提炼此类问题的解题策略.

关键是要对零点、方程的根、图像交点进行灵活转换.

问题3：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）上有两个零点，则3a+b的取值范围是______.

问题3-1：尝试用零点、方程的根、图像交点三种视角解决此题.

图2

方法1：零点视角

结合图2容易得3a+b∈（-5，0）.

方法2：方程根视角

方法3：图像交点视角

f（x）=x2+ax+b=0⇔-x2=ax+b，令f1（x）=-x2，f2（x）=ax+b，则问题转化为f1（x）与f2（x）有两个交点时，求f2（3）的取值范围.如图2所示，两个临界位置为当直线f2（x）=ax+b与f1（x）=-x2相切于原点和点（1，-1）.当相切于点（1，-1）时，容易求得a=-2，b=1，则f2（x）=-2x+1，所以f2（3）=3a+b∈（-5，0）.

意图：使学生能够熟练应用三种视角解决问题，掌握等价转化的技巧，明确解题的入手点.

问题4：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间［0，1］上有零点，则ab的最大值是______.

问题4-1：尝试用最简便的方法解决这道题.

此题与例题和问题3比较存在着细微的差异，那就是“有零点”，而不是“有两个零点”，这就意味着“零点”的不确定性.那么在零点与方程根的视角下考虑就需要分类讨论，过程会比较烦琐.因此，转化为图像交点问题是不错的选择.

意图：让学生更加关注问题的细节，关注深度思考，实现从一题多解到方法抉择的跨越.

三、设计迁移式问题链拓展解题视野

数学解题教学的目的不仅仅是让学生掌握一道题或者一类题的解法，而是在于深入挖掘隐藏在解法背后的数学思想，从而把一类解法推广应用到其他类型的题目上.因此，问题链设计还应考虑问题的可迁移性，一个具有迁移性的问题能够从横向或纵向蕴含其他重要问题的解决方案.

问题5-1：回顾上述解题过程，思考方程根视角与图像交点视角解题，目标函数的最值（取值范围）在什么时候取到？

不难发现，在用方程根视角解题时，目标函数往往在“端点处”取到最值；在用图像交点视角解题时，目标函数一般在“切线”处取到最值.

问题5-2：上述两种思想方法背后的数学本质是什么？

方程根视角蕴含着“以值代参”的思想方法，即用确定的值来替换参数的取值，这叫“以静制动”；图像交点视角蕴含着“以直代曲”的思想方法，即用切线来刻画曲线的趋势，从而使复杂的运动变化得以简化.

问题6：已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且a≠0，记M（a，b，c）为｜f（x）｜在区间［0，1］上的最大值，则的最大值是______.

问题6-1：此题能否用“以值代参”的数学思想解决？

解析：a+b+2c=f（1）+f（0）≤2M（a，b，c），即≤2，因为二次函数在闭区间上的最值显然可以在端点处取到，所以的最大值是2.

问题7：已知函数f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0），若f（x）≤x2+x恒成立，则ab的最大值是______.

问题7-1：此题能否用“以直代曲”的数学思想解决？

解析：f（x）≤x2+x⇔ln（ax+b）≤x⇔ex≥ax+b.要使曲线恒在直线上方，即直线为曲线的切线，设切点为（x0，ex0），则k=a=ex0，b=ex0（1-x0），所以ab=e2x0（1-x0）；令g（x0）=e2x0（1-x0），则g′（x0）=e2x0（1-2x0），所以g（x0）在上单调递增，在上单调递减.所以

意图：解题需要“套路”，但“过死”的套路有时反而会成为解题的障碍.通过对上述两个问题的解决，解题思想方法明显变得“活络”，学生充分感受到“以不变的思想方法应对千变万化的题目”的解题理念.

以上介绍了三种数学问题链的设计案例，当然问题链的种类远不止这三种，我们可以根据解题教学的实际需求设计更多类型的问题链，使学生的数学思维水平在发现问题——解决问题——再发现问题的不断往复循环的过程中得到发展与提升.