空间投影于高中数学教学中的运用与思考

江苏省海安市曲塘中学 徐远华

投影的价值众所周知，人们利用投影算出了金字塔的高度及地球子午线的周长等，现代社会对投影的利用更为广泛，绘画、绘制立体图形、教学等多个领域都用到了投影，投影在教学中所起到的作用极具独特性.

一、凸显几何体的本质并促成学生建立直观认知

投影的运用能使几何体的正面、背面、侧面、底面获得展示并因此为学生提供多方位的观察与研究，学生在获得全面认知的过程中更容易了解几何体的特征与性质并进行分析和思考.

不仅如此，运用投影并根据教学需要对几何体的关键或主要部分进行凸显展示，能使学生更好地突破学习难点并因此获得茅塞顿开的感受.比如，淡化次要部分并凸显图形上的关键点、线、面，使学生能够在更为纯粹的几何图形中抽象出关键部分，使学生更加清楚地认识几何体并因此把握图形及其本质，使学生因此获得由浅入深、由表及里、由粗到细的有效认识.

计算机的辅助作用在现代教育技术不断发展的今天得到了充分的发挥，正投影的投影原理与三视图的看图方法在多媒体技术的支撑下得到了有机结合，声音、图像、动画、文字因此融为一体并将几何体的结构特征与性质清晰地展现在学生面前.不仅如此，生动的动画演示还能将几何体三视图的形成与发展直观而清晰地展现出来，使学生能够在一目了然的直观影响中迅速抓住几何体图形的本质特征，几何体在学生头脑中的表现也会因此变得清晰与丰富.

二、发展学生的想象能力与空间观念

培养学生的空间观念主要表现在以下几个方面：（1）引导学生在空间几何体和实物之间进行想象与转化，具体来说就是帮助学生在具体实物中想象出几何图形，在几何图形中想象出实物形状；（2）帮助学生根据几何体的三视图做出立体模型、画出几何图形或反向转化；（3）帮助学生学会从复杂图形中分解、抽象出基本图形并分析其中的基本元素和关系；（4）教会学生学会实物、几何图形运动与变化的表述；（5）使学生学会适当描述物体间的位置关系；（6）教会学生运用图形形象描述问题并直观思考问题.

投影实际上就是三维图形在二维范畴内的显现，利用平面图形表示空间图形的这一行为实际上是一种“降维”策略.利用投影将物体的空间形象转化成投影形象能使学生的思维在空间形象与投影形象之间更好地转化.例如，图1 所示是一个立体模型的形状，利用投影展示图1 的三视图能充分调动学生的空间想象能力并在头脑中映射出其立体形状.进一步操作更好，比如借助AutoCAD 绘图软件勾画出物体三个简单体的轮廓平面图，再将其进行拉伸并展现出立体形状，教师的这一操作能使学生清晰地获得从平面图形想象出立体图形的方法.在此基础上，教师还可以将图2 中的图形进行重新组合并以此发展学生的空间观念.比如图3 这一图形就是把图2 中的三个简单体重叠而获得的，图4 就是图2 中的三个简单体做交运算而获得的，把图4 去掉两个不同直径的圆柱体就又可以获得图1 所示的图形.这些观察与操作都是建立在几何体和三视图之间相互转化的基础上的，从实物想象图形，再从图形想象实物，这之间的转化能更好地开发学生的空间想象能力，并因此促成空间观念的正确养成.

图1

图2

图3

图4

三、激发学生的自主探究与发现

教材中有以下一题：如图5 是一三视图轮廓的孔形样板，你能找出一个塞子并使其能堵住样板上的每个孔吗？

从左向右对图5 中的孔的投影进行观察可知，三个图形分别是圆、“⊥”与正方形，想象塞子的俯视图、主视图、左视图可以发现它们是相吻合的，因此可以找出如图6 所示的塞子.

图5

图6

对投影的原理进行有目的、有计划的研究与思考并进行直观观察，可以使观察者在有条理、有层次的观察中产生疑惑，在问题的提出与思考中不断增强感性认知.引导学生进行如此探究与发现能使其思维能力、观察能力、空间想象能力获得长足进步与发展.

四、积累投影知识

图形直观在空间解析几何、高等几何、微积分几何、微积分、复变函数、群论等课程中都会得到充分的运用，在平面上正确绘制立体图形、利用投影在平面上呈现立体图形、借助平面图形想象空间图形、在空间想象中研究立体图形的性质等行为都是学习立体图形过程中的种种需要，积累投影知识的重要性及运用投影的价值性由此凸显，因此，教师一定要积累相当多的投影知识并因此为学生的数学学习奠定基础.比如下述理解投影运用的实际案例.

例如，如图7 所示，四边形ABCD 和A′B′C′D′都是正方形，且AB∥A′B′，求证：AA′、BB′、CC′三线共点.

图7

如果运用初等几何方法对此题进行证明，则必须先证明△ABC∽△A′B′C′，可得和BB′相交于点O），然后再根据与∠OBC=∠OB′C′进一步证明△OBC∽△OB′C′，然后再根据△OBC∽△OB′C′得出∠BOC=∠B′OC′，由此可得AA′、BB′、CC′三线共点.这一方法虽然也能令此题得证，不过证明过程显然比较复杂.由此可见，积累一定的投影知识能够帮助学生提升理论知识，利用更高的思维水平看待问题并简化问题的解决，使学生利用更为丰富的直观材料解决问题并对初等数学问题进行更加深刻地理解.

五、投影变换思想的运用

与社会生活、生产实际存在密切联系的投影在医学、工程设计、艺术、建筑和机械制图等多个领域都得到了广泛的运用，掌握一定的投影知识对适应社会生活是十分有必要的.

从思想方法的高度对问题进行理解或解释并从解题的角度进行思考与把握，是人们解决问题时的一般思维和习惯，人们在解决问题的一开始一般不会局限在具体的细节上.因为建立在大层面上的问题思考与把握才能令人们更好地把握局部，以及准确的解题方向，只见树木、不见森林的现象才会在问题的把握与解决中得到杜绝.

运用投影观点对问题进行把握是从大方面对问题进行的思考，这种变换的观点在思考问题中的运用中一样是重要的思想方法.

例如，如图8 所示，已知⊙O1、⊙O2相切于点P，切线A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，且A1C1⊥B1C1，求证：点P、C1、C2共线.

图8

根据图形的特点可以发现把点P 看成投影中心，⊙O1、⊙O2则是以点P为投影中心的位似图形，则过某点的切线也因此变成了过其对应点的切线，变换观点地运用和思考令问题的解决异常清晰.

因为B1C1∥B2C2，因此可以把B1、B2看成为一对对应顶点.同理，A1、A2也是一对对应顶点.

因此，B1C1和B2C2、A1C1和A2C2都是对应切线.

由对应直线的交点也必是对应点这一性质可知，C1、C2必然也是对应点，因此点P、C1、C2共线.

解决上述问题就是充分利用了投影变换的思想，从一定高度对问题实质进行认识和理解，并跳过某些具体细节的解题办法简捷而有效.F