估算带“[]”无理数的值

何德海

利用计算器得出含根号无理数近似值的方法相信大家都掌握了，但如果我们手头没有计算器或不允许使用计算器时，该如何估算它们的近似值或大致范围呢？下面结合有关题目谈谈帶“[]”无理数的值的估算方法。

一、采用夹逼法

例1 （2018·台州）估计[7]+1的值在（       ）。

A.2和3之间 B.3和4之间

C.4和5之间 D.5和6之间

解：∵22=4，32=9，∴[4]=2，[9]=3，

又∵4<7<9，∴[4<7<9]。

即[2<7<3]，∴[3<7+1<4]。

故选B。

点评：本题主要考查估算无理数[7]的整数部分。采用“夹逼法”，利用“若a、b都为正数，且a>b，则[a>b]”的结论，可以得出[7]的整数部分。本题对[7]的近似值要求不高，运用一次“夹逼法”，即可求解。

例2 填空：[7≈]         （精确到十分位）。

解：∵2=[4<7<9=3]，∴无理数[7]的值介于2和3之间，即[7]的整数部分为2。

又∵2.62=6.76，2.72=7.29，∴2.6[<7][<2.7]。又∵2.642=6.9696，2.652=7.0225，∴2.64[<7][<2.65]。∴[7]的百分位上的数为4，根据四舍五入法则，[7≈]2.6（精确到十分位）。

点评：本题仍然是估算无理数[7]的值，但要求精确到十分位，精度要求高了，需要多次运用“夹逼法”。用此种方法，先确定整数位，再确定十分位、百分位等，多次运用还可以求出更加精确的值。此种方法，也适用于其他带根号无理数的估值。

二、利用数轴上的点

例3 （2019·武威）下列整数中，与[10]最接近的整数是（       ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

分析：本题除了运用例1所提供的“夹逼法”外，也可以将教材中提供的“在数轴上画出表示[2]的点”的方法“移植”过来。

解：如图1，在数轴上，构造边长分别为3和1的长方形OABC（或两直角边分别为3、1的Rt△OCB），然后以O为圆心，以OB长为半径画弧，交数轴的正半轴为M，则点M即为数轴上表示无理数[10]的点，由图可直观看出与[10]最接近的整数是3。本题选A。

图1

点评：本题利用数轴，构造图形，在数轴上直观表示出带根号的无理数，利用图形直观，可估算出该无理数的值。当我们将数轴上的刻度细分时，估值的精度还能有所提高。

（作者单位：江苏省句容市教师发展中心）