承压水作用下的煤层底板突水破坏预测研究

沈义东，沈军辉，李何伟

（成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室， 四川成都 610059）

0 引言

受底板承压水的影响，我国煤层开采底板破坏突水事故频发[1～2]。煤层底板突水多为隔水关键层所受的应力超过其临界强度，造成底板破坏所致。有关底板突水破坏机理的研究，上世纪30年代，前苏联斯列萨列夫结合力学基础及强度理论，研究了煤层底板在承压水作用下的破坏机制，1944年匈牙利学者基于力学理论提出有效隔水层的观点[3]。孟祥瑞等[4～5]运用弹性力学半无限空间体理论研究确定了煤层底板扰动带的深度；虎维岳[6]、王连国等[7～9]根据岩石渗透率与应力、应变关系的尖点突变模型，研究了采动下煤层底板破坏的力学机制。虎维岳[10]、冯强等[11]运用FLAC3D分析了点状、带状及面状承压水作用下煤层底板的力学响应及煤层开采后采空区底板应力分布规律。上述有关底板破坏机理的研究，多从理论分析和数值模拟角度开展。本项研究根据多数破坏底板的薄板状特征，将底板隔水层看作弹性薄板模型，运用弹性力学理论推导应力解析式，得出了底板隔水层任意一点在纵横荷载作用下应力计算公式，结合FLAC3D软件分析岩板受力规律，基于薄板模型计算隔水层的极限水压力，分析底板隔水层的突水破坏模式。研究成果对评价底板隔水层突水破坏具有理论与实际意义。

刘天泉、张金才等学者根据“下三带”理论，并运用弹塑性力学和相似材料模拟实验研究底板突水机制，采用半无限体一定长度上受均布竖向载荷的弹性解（式1-1）、结合库仑-莫尔强度理论和Griffith强度理论分别求得了底板受采动影响的最大破坏深度和以底板岩层抗剪及抗拉强度为基准的预测底板极限水压力的理论公式[12]。

然而，以上运用板梁理论推导出的底板突水的评价方法皆没有考虑水平地应力。随着采深的加大，水平地应力已不能忽略，在底板向上水压力与水平力的同时作用下，底板岩层发生向上弯曲变形。将底板隔水层看成一薄板，其力学模型就是一种受纵横荷载作用下的薄板弯曲问题。

1 底板隔水层弹性薄板模型

煤层底板岩层自上而下形成“下三带”[12]，即：底板采动裂隙带ha、完整有效隔水层保护带hb和承压水导升带hc（图1）。无断层影响下，底板岩层是否突水破坏，主要取决于底板有效隔水层的厚度和本身的极限承载力[13]。由于采空区四周均有煤柱支承，因而可将隔水底板看作固支边界。

前苏联加列尔津认为岩板h/b＜1/5时(h为岩板的厚度，b为岩板短边长度)，用薄板方法是完全允许的[14～15]；此外，岩板的挠度必然不大于煤层的开采厚度，而岩板的自身厚度又往往大于煤层开采厚度，故岩板挠度必然远小于自身厚度，这也符合薄板弯曲小挠度理论的前提条件[16～17]。因此，隔水层稳定性分析选择弹性力学中的薄板弯曲模式是可行的。煤层底板有效隔水层除了采动破坏带的自重和有效隔水层的自重之外,主要还受承压水的均布荷载p及水平地应力N[18～21]。因此，底板隔水层在向上水压力与水平地应力的共同作用下，发生向上弯曲变形，其力学模型就是一种受纵横荷载作用下的薄板弯曲问题（图2）。

图2隔水层岩板力学模型Figure 2.Mechanical model of water-proof rock plate

1.1弹性薄板的挠度函数

采场底板破断前可将其视为四边固支的矩形薄板，采场覆岩受均布荷载t=p-γaha作用。矩形顶板长为a，宽为b（其中b＜a），板厚为h，弹性模量为E，泊松比为μ，抗弯刚度为D，板的挠度为ω，内力弯矩为Mx、My，底板应力为σx、σy和τxy。建立四边固支的矩形顶板力学模型，如图2所示。对四边固支矩形薄板满足式（2-1）所示的边界条件：

图1完整底板隔水层分带图Figure 1.Zoning of water-proof layer of a complete floor

根据最小势能原理求解临界荷载。对于受图2（b）所示的均布横向载荷的四周固支矩形薄板，其挠度表达式为：

由于上式收敛很快，为了方便计算，取式中第一项，即可满足采矿工程中的要求。即：

（1）隔水底板的形变势能

将w（x，y）替代矩形薄板的形变势能表达式（2-4），得：

其中D=Eh3/[12（1-u2）],E为薄板的弹性模量，u为泊松比，D为薄板抗弯刚度。

由式（2-5）变形可得：

依据格林定理，有：

所以，式（2-7）中右边第二项的积分可化为：

由于矩形薄板的全部边界都是固支的，则不论边界的形状如何，在边界上都有∂w/∂x=0，所以式（2-8）中右边第二项的积分为零。因此，矩形薄板的形变势能U可以化简为：

（2）横向载荷做功

垂直于底板隔水层的横向载荷t做的功为：

（3）水平地应力做功

对于作用在底板隔水层上的水平纵向载荷N，我们将其看作是沿着底板隔水层x、y方向岩层的内力Nx和Ny处理，则纵向载荷做的功为：

（4）隔水层自重做功

考虑有效隔水层自重情况下，则自重G做功，

因此，煤层底板隔水层的总位能Π为

依据最小势能原理，对下伏倾角不为零隔水层的总位能Π取变分，则

挠度函数w能满足公式(2-1)的四边固支边界条件，采用变分法求挠度函数w系数A1。所以，纵横载荷作用下底板隔水层的挠度函数w的待定系数A1为：

因此，底板隔水层的挠度函数w为

1.2薄板内力分析

根据薄板理论，板x和y方向弯矩表达式如下式所示，力偶矩如下式第三式所示：

则应力分量为：

2 弹性薄板破坏模型应力分析

2.1力学模型应力分析

根据皖北煤电集团某矿采煤工作面底板隔水层力学参数可绘制出隔水层弯矩分布图（图3）。

表1 采煤工作面隔水关键层层力学参数Table 1.Mechanical parameters of key water-proof layer in a coal face

图3 隔水层弯矩分布图Figure 3.Bending moment distribution diagram of waterproof layer

2.2数值模型应力分析

在上述应力分析基础上，结合FLAC3D软件分析了底板隔水层在承压水作用下的应力状态。如图4（a）建立长：宽：高=10：5：1弹性薄板模型，四周边界全约束，忽略底板隔水层自重和水平应力，根据图4(b)、(c)、(d)可得出隔水层只在承压水作用下的应力σx、σy、τxy的分布规律。

图4 薄板模型承压水压力作用下隔水层应力云图Figure 4.Stress nephogram of water-proof layer under the action of confined water pressure of thin plate model

由图3中可知，矩形薄板在x方向上的弯矩值要远远超过在y方向的弯矩值，在板中是正弯矩，在板边形成的是负弯矩，弯矩负值点在薄板短边的两端，表明板边处于受压、而板中处于受拉状态，弯矩最大值点在原点位置。由图4可知，薄板在受到底部承压水作用向上弯曲过程中，最大拉应力出现在板的上表面中心和板长边方向下端部，压应力最大出现在板两短边上的中点部位。

3 薄板模型的极限水压力求解

3.1底板有效隔水层破坏形式判断

依据式(2-17)、（2-18）分析四周固支薄板内的应力分量沿其跨度和高度方向的分布。煤层回采时随工作面的移动，底板岩板内某点的正应力超过岩板极限抗拉强度，因岩石的抗拉强度较低，岩层易发生因抗拉能力不足而导致的弯曲破坏。考虑了水平地应力后，若当水平地应力较大时，则岩层或以压剪破坏为主。

3.2隔水层弯拉破坏的力学判据

根据前面对薄板受纵横载荷作用下的应力分析（式1-1）可知，薄板在长边方向上的中间部位所受到的y方向的弯矩最大，则其下表面拉应力最大。则薄板

若使岩层不发生断裂，则应使岩石的容许抗拉强度不小于嵌固端岩层下表面(x=±l，y=h/2)处的拉应力。嵌固端不被拉裂的条件为：

则岩板不发生拉断的极限水压力为：

3.3隔水层压剪破坏的力学判断准则

剪切破坏是围岩弱结构体中最容易沿优势结构面发生破坏的形式，但在高水平应力作用下，结构面不发育的岩体也会发生破坏。

根据前面对薄板受纵横载荷作用下的应力分析可知，薄板在长边方向上的中间部位所受到的y方向的弯矩最大，则在其下表面压应力最大。则薄板的最大和最小主压应力为：

当底板隔水层在纵横荷载作用下底板岩体的任意一点处于弹性区向塑性区过度时，即该点将要发生塑性变形时，其主应力应该满足极限平衡条件。采用岩石力学中通用的莫尔-库仑屈服准则判断。

其中，Nϕb=（1+sinϕ）b（ 1-sinϕ）b，式中，cb，φb分别为隔水层粘聚力、内摩擦角。

由式（4-4）求得底板隔水层下任一点主应力，将其代入式（4-6）后，即可用主应力来判别底板受剪切最危险点的破坏状况。则根据式（4-6）可知，岩板不发生剪切破坏的极限水压力为：

3.4薄板极限水压力求解问题讨论

在上述的研究基础上，结合皖北煤电集团某矿采煤工作面隔水层力学特性（表2）来讨论当h/b、a/b变化以及不同水平地应力N（起始水平应力为0）下底板所能承受的极限水压力变化情况。结果见表3、4和5所示，计算出不同的极限水压力值，其结果如下所示。

图5 不同h/b值下极限水压力值曲线图Figure 5.Curve of limit water pressure under different h/b values

图6 不同a/b值下极限水压力值曲线图Figure 6.Curve of limit water pressure under different a/b values

图7 不同水平地应力下极限水压力值曲线图Figure 7.Curve of limit water pressure under different horizontal crustal stresses

由表3、4结果及其绘制图5、6可知，压剪破坏的极限水压力总小于弯拉破坏的极限水压力，即随着隔水层厚度的增加，底板更易在固支边界发生压剪破坏。

由表3及图7可知，煤层底板隔水层的极限水压力还受水平地应力的影响，随着水平地应力的增大，隔水层固支端处压剪破坏的极限水压力逐渐减小，弯拉破坏的极限水压力基本不变。

表2 采煤工作面隔水关键层层力学参数Table 2.Mechanical parameters of key water-proof layer at a coal face

表3 不同h/b值下极限水压力值（a=180m,N=3MPa）Table 3.Water pressure limits under different h/b values(a=180m,N=3MPa)

表4 不同a/b值下极限水压力值（h=3m，N=3MPa）Table 4.Water pressure limits under different a/b values(h=3m,N=3MPa)

表5 不同水平地应力下极限水压力值（a=180，h=3m）Table 5.Water pressure limits under differenthorizontal crustal stresses(a=180,h=3m)

4 结论

通过对煤层底板突水破坏薄板模型的研究，结合数值模拟结果，得出以下结论：

（1）基于弹性力学中的弹性薄板理论，建立了沿煤层斜长方向采动底板受力力学模型，计算了煤层回采过程中底板内任一点处的应力大小。

（2）由应力分析可知，相同的水压力时，影响底板破坏突水的主要因素是有效隔水层的层厚和水平地应力大小。

（3）在不同的a/b和h/b值下压剪破坏的极限水压力值小于弯拉破坏的极限水压力值，说明煤层底板在固支端更容易发生破坏突水。

（4）水平地应力对弯拉破坏影响较小，但对压剪破坏的影响较大。