范希尔理论下的几何思维困境及其教学突破

纪定春?周思波

摘 要 范希尔理论是几何教学基础理论。对范希尔理论作了简介，分析了中学生范希尔几何思维水平及困境，针对中学生几何思维困境，给出如下突破对策：用全面表征几何图形、细化几何要素分析、强化几何图形关联、规范几何表达、注重语言转换等策略，实现分析水平到非形式演绎水平的突破;用自然推理严谨化、几何推理符号化、理解逻辑思维及构成要素、强化概念和命题网络、优化几何认知结构等策略，实现非形式演绎水平到演绎水平的突破。

关键词 范希尔理论 思维困境 几何教学 教学突破

几何教学是数学教学的重要组成，范希尔理论是中学几何教学的基础理论，对提升学生的几何素养具有理论价值与实践意义。该理论于20世纪50年代由荷兰数学教师范希尔夫妇在研究几何教学时提出。随后，首先被苏联教育界接受，并用于几何课程设计，让学生几何思维水平显著提高。此后十年，美国学者开始关注范希尔理论。如今，范希尔理论已被世界数学教育界公认，并成为教材设计、教材对比研究、师生思维测量、几何与非几何教学设计等的理论基础。众所周知，范希尔几何思维水平具有进阶性，即不能直接从低水平直接跳跃到高一级思维水平。为更好实现两相邻思维水平间的过渡，先对范希尔理论作简介，然后分析目前中學生的范希尔思维水平与困境，最后结合范希尔思维水平特点，给出突破几何思维困境的教学策略。

一、范希尔理论简介

范希尔夫妇在几何教学中发现，学生、教材和教师几何思维水平不同步。受美国学者皮亚杰认知发展阶段论的启发，提出了学生几何学习的5水平思维，即[1]：水平0—视觉（visuality）：能用整体轮廓辨图，能用不标准名称描述图形，但不能用图的特征、要素来分析和概述图形;水平1—分析（analysis）：能分析图形要素及特性，并用于解决几何问题，能将几何分类，但不理解图形定义，不能解释特性间及图形性质间关系，无法推公式及用正式定义;水平2—非形式演绎（informal deduction）：能建立图形内部或图形间性质的联系，能用定义、定理等作自然语言上的演绎推理，但大脑中未形成有条理的概念系统;水平3—形式演绎（formal deduction）：能充分理解逻辑证明中的因果关系，能建立定理间的逻辑关系，能提出猜想并用演绎法证明猜想;水平4—严密性（rigior）：学生能分析比较不同几何公理系统，能理解不同几何系统下各定理间的逻辑关系，以及在某系统下解题时的逻辑严密性。

20世纪80年代，范希尔将5思维水平并为3思维水平，即直观、描述和理论水平[1]。直观水平（visual level）：能整体认识几何对象;描述水平（descriptive level）：通过几何性质认识几何对象;理论水平（theoretical level）：利用演绎推理证明几何关系。尽管两种思维水平的界定无本质区别，但目前仍以5水平划分方式运用较多，本文也采用5水平思维划分方式。

二、范希尔几何思维水平测量与思维困境

1.范希尔理论下的几何思维水平测量

王红兵[2]设计了一道几何开放题，对南京市初中毕业生范希尔思维水平进行调查及分析，结果表明学生思维多处于水平2，其次是水平1，最少是水平3，并指出高水平的几何思维不稳定、思维瑕疵多。王宽明[3]用范希尔理论，对学生范希尔思维水平与推理能力的关系进行了研究，结果表明学生范希尔思维水平与推理能力呈正相关，学生思维水平主要处于水平2。黄兴丰等[4]对苏南某市7～9年级学生几何思维的发展做了研究，结果表明7年级学生有少数达到水平3（非形式演绎）以上，其余学生思维水平较均匀地分布在1-3水平。通过初中几何学习，9年级学生的思维水平明显提高，50%以上达到水平3，但仍有较多学生未能从水平2跨到水平3。黄兴丰等[5]利用范希尔理论，测量了高三学生空间几何思维水平，结果表明学生几何思维水平0和水平1得到充分发展，尽管90%以上学生达到水平2（非形式演绎），但属中低水平，未达到高水平的非形式演绎水平，75%的学生达到水平3（形式演绎），但仍是低水平的。

通过文献分析，结论如下：1、几何思维水平总体不高，学生几何思维主要集中在水平2（分析）和水平3（非形式演绎）;2、同水平差异大，尽管学生几何思维达到同一水平，但存在低、中、高之差异，且主要集中于中、低水平;3、思维不稳定，分析过程呈较高水平，但解答过程呈低水平，高水平思维持续时间短;4、思维水平间跨越较难，存在思维困境;5、几何思维水平与推理能力呈正相关。

2.范希尔理论下的几何思维困境

从目前测量结果看，大部分学生范希尔几何思维水平在水平2，较多停留在水平1，一部分学生达到水平3，但高水平的思维不稳定，并暴露出思维瑕疵。通过学生几何思维的分布来看，学生的几何思维从分析到非形式演绎，以及从非形式演绎到形式演绎的突破，都存在较大思维难度，表现为测量结果的思维断层。范希尔认为，学生几何思维的发展是有先后顺序的[6]，即只有达到前一水平，才会跳跃到后一水平。Guti&rez等[7]引入向量表示范希尔几何思维，并将每个水平分为5个连续阶段，分别为未获得、低水平获得、中水平获得、高水平获得以及完全获得，并用定量的数值区间刻画学生在每个水平上的发展状况。这将范希尔思维水平的每个水平进行再细分，相当于用更精确的尺子来测量学生几何思维水平。再此，为方便表述，不妨将未获得和低水平获得称为前水平，将中水平获得称为获得水平，将高水平获得和完全获得称为后水平。接下来，将结合上述分析，分别给出从分析水平到非形式演绎水平，以及从非形式演绎到形式演绎的突破策略。

三、分析后水平向非形式演绎前水平的突

破策略

当学生范希尔几何思维处于分析获得水平，此时能描述图形部分特征，但不清楚这些特征间关系。当学生范希尔几何思维处于非形式演绎前水平，学生能初步建立图形内部或图形间性质的联系，但这种联系较弱，能用定义、定理等作自然语言上的演绎推理，但语言描述不够准确和完善。为更好实现两水平间的过渡，则需要促进图形整体认识，细化几何要素，强化图形关联，完善语言表达，于是给出如下教学对策。

1.全面表征几何图形

表征，指研究对象在人脑中的呈现和反映。图形表征，指几何图形在人脑中的呈现和反映。丰富的图像表征，是促进学生的几何思维从感性认知到理性认知的基础。全面表征图形，就要从整体到局部和局部到整体的观察、分析、辨别图形特点，让几何研究对象在人脑中更全面、更丰富的呈现和反映。例如，在学习三角形高的概念时，先以锐角三角形的高为例，很多学生只会作由一个顶点引出的高，不能将高的定义迁移到其余两边上，这时需要教师刻意引导学生表征三角形的整体概貌，让学生对三角形三边的地位有更深刻认识，即认识到三角形三边的地位“平等”或“等价”，那么一个三角形就有三条高。再让学生经历观察、分析、尝试作高、用高的定义检验是否为三角形的高。然后，将锐角三角形换成是直角三角形和钝角三角形，发现直角三角形有两条高恰好直角边，而钝角三角形有两条高在顶点所对底延长线上。通过对三角形高的全面表征，学生就形成了对三角形高更全面、深刻的认识。

2.细化几何要素分析

要素，一般指构成对象的成分。要素分析，即分析要素内部及之间的联系和区别。在几何中，几何要素主要指构成几何对象的成分。例如，在学习三角形时，要充分分析三角形的构成要素，明确三角形是由“角”和“边”两种要素组成。分析不同几何要素之間的关系，如角和边之间的对应关系，角大小与边长度之间的关系，即大角对大边，小角对小边。分析同要素间的关系，如三个内角和、外角和的数量关系，构成三角形需满足三边的不等关系等。通过对要素内部及之间的分析，可让学生弄清三角形的组成要素及各要素间的关系，更能理解要素间是如何相互作用的。

3.强化几何图形关联

关联，分为内部与外部关联。几何图形常存在内部关联又具外部关联，外部关联多表现为定义的不同。对一个对象下定义的方式有很多，但下定义需遵循四条规则，即：定义要相称、定义不循环、定义要简明、定义一般不用否定形式。例如，小学阶段所学的正方形、长方形、平行四边形、梯形、四边形等，学生可能无法直接将其串联。则需教师借助下定义（“属+种差”）的原理来构建图形间的关联。平面上的四边形，可分为凸四边形和凹四边形。在凸四边形中，加不同限制条件，可定义正方形、长方形、平行四边形和梯形等。凸四边形所包含内容更丰富，而被定义的正方形、长方形、平行四边形和梯形等是满足某些限制条件的图形。凸四边形为被定义图形的上位概念，而被定义项是凸四边形的下位概念，它们之间是包含与被包含、一般与特殊的关系。这样分析，学生就可明确图形的定义与被定义间的关系，进而明晰图形间的关联。

4.规范几何表达，注重语言转换

每门学科都有自己独特的语言系统，几何也不例外。几何语言，指用几何术语来描述几何对象的语言。几何语言包括文字、符号、图形等语言。几何语言是传递几何信息的媒介，在几何学习中具有重要作用。信息加工理论研究表明，语言表达能促进新信息从短时记忆进入长时记忆，并能加深对新信息的理解。因此，在几何教学中要注重几何语言的表达，让学生分析、描述几何对象。而几何语言的精准性直接影响学生对几何对象的认知，因此几何语言的表述一定要准确和清晰。如，教师可让学生先说，再及时纠正，纠正后再让学生复述，这样有利于培养学生精确的几何表达能力。脑科学研究指出，复杂心理活动需要大脑两个半球协同工作，如阅读、思考、记忆存储和提取等。大脑左半球负责对认知对象的语义加工，右半球主要负责对图片的加工，然后在大脑中形成对对象的表象和意象。例如，当提及圆，大脑呈现的可以是圆的标准方程、一般方程、参数方程、极坐标方程，也可以是圆的图形，即由圆心和半径所确定的图形，亦或圆的定义等。圆的定义就是几何语言中的文字语言;标准方程、一般方程、参数方程和极坐标方程是符号语言;当提及圆的定义（概念）在头脑中反映的是一个圆的表象，则是图形语言在大脑中的表征。在问题解决中，问题呈现性态未必有利于问题解决，往往需要几种语言间的切换，以方便问题解决。几何语言的相互转换，不但可优化大脑协同工作的品质，而且对全面表征几何，促进问题解决等都具有重要

价值。

四、非形式演绎后水平向形式演绎前水平

的突破策略

学生范希尔几何思维处于非形式演绎后水平和形式演绎前水平之间，此时学生能建立图形内部及图形间性质的联系，能使用定义、定理等做自然语言上的演绎推理，但未形成逻辑的概念系统。学生不能充分理解逻辑证明中的因果关系，也不能建立定理间的逻辑关系。因此，为实现非形式演绎后水平向形式演绎前水平的过渡，给出如下教学对策，即自然推理严谨化、几何推理符号化、理解逻辑结构与要素、概念命题网络化。

1.自然推理严谨化

刘京莉[8]研究表明，学生范希尔几何思维与几何推理能力呈正相关。因此，要重视几何推理素养的培养。当学生几何思维处于非形式演绎后水平与形式演绎前水平之间，已能用自然语言演绎推理，但这种推理不严谨，逻辑不严密。因此，该阶段的教学要将学生自然语言上的演绎推理严谨化，并将推理过程用规范的几何语言表述。很多时候，学生在几何证明的严谨性上出问题，如逻辑混乱、条件与结论颠倒、论证过程含糊不清等，但让学生来分析，可发现学生的解题思路没问题，这是自然语言上的非形式演绎推理向严谨的演绎推理过渡存在问题。由范希尔理论可知，学生几何思维的发展与教师几何语言的运用直接相关，即可通过教师的几何语言来提升学生的几何思维水平。因此，在几何教学中，教师要注意几何用语的严谨性，并引导学生用严谨的几何术语表达几何对象，用严谨的推理过程来论证几何，进而逐步实现推理严谨化。

2.几何推理符号化

符号化是数学发展的基本特征，是进行抽象思维的基础。符号是思维操作的对象，是进行思维活动的现实心理基础。几何推理方式较多，如自然推理、图形推理、理论推理等。自然推理一般指用普通语言描述、解释和论证的及时表现，是偏重分析、口语化的推理方式;图形推理是借助视觉的、直观的和构造的描述性推理过程;理论推理，即演绎推理，是借助概念、定义、命题、公理、定理、假设等为基础，并每步严格按照这些基础来进行形式化论证的方式。这里的几何推理符号化，主要指理论推理过程符号化。几何学习，不仅是几何概念、命题等的学习，更是几何学这门学科语言、推理形式、论证方法等的学习，也是几何符号、几何论证、几何推理等的学习。几何语言、符号、概念等是人脑进行几何深度思维的基础，只有掌握好几何语言、符号、概念等，才能有效地用几何的眼光看世界，几何的思维思考世界，几何的语言描述世界。因此，在几何推理和论证过程中，要强化几何推理符号化表达。

3.理解逻辑思维及构成要素

理解是学习的起点，理解是新信息与已有结构中的（旧）信息建立非人为联系。所谓逻辑，简单讲就是按照一定规则，有先后顺序做事。逻辑一般分为形式逻辑（数理逻辑）和辩证逻辑，在数学中，绝大多数是形式逻辑。数学是思维的科学，也是讲逻辑的科学，因此要理解数学，首先要理解逻辑思维及要素。数学的概念、判断和推理是逻辑思维的三大基础，其中概念是逻辑思维最基本单元，因此概念可视为逻辑思维的细胞。正如布鲁纳所讲，要掌握一门学科，就是要掌握这门学科的核心概念。数学概念是指数学的本质特征、数量关系、空间结构等在人脑中的反映。要形成对数学概念深刻认识是困难的，如点、线、面等概念，是对现实对象理想化抽象的概述，这些概念具有高度抽象性，学生需经历复杂的心理过程，才能形成概念的正确理解。判断，主要是利用肯定或否定语句来明确对象真伪（还包括全称、特称和单称判断），它是逻辑思维的纽带。如果不能通过定义、概念、命题等的组合进行判断，那么推理过程就无法进行。推理是思维最高形式，概念构成判断，判断构成推理。可见，判断是概念和推理间的桥梁。因此，在教学中先让学生理解逻辑，理解逻辑思维及要素，这样可为学生的逻辑推理打下基础。

4.强化概念和命题网络，优化几何认知结构

概念是思维的细胞，是学生思维生长发育的基础。数学中，把用符号、语言或式子等表达的，可用来判断真假的陈述句称为命题。认知结构，是人将所认识的信息组织起来的心理系统。简单讲，认知结构指能有效组织信息的一种心理能力。当学生几何思维处于非形式演绎和形式演绎水平之间，学生不能建立定理、概念、命题等间的逻辑关系。研究表明，一个拥有良好CPFS结构的学生，对数学本质的理解更深刻。个体的CPFS结构，指在数学学习中学习者在头脑中形成的概念域、概念系、命题域、命题系，CPFS结构是对数学知识表征的一种刻画、是数学学习特有的认知结构[9]。强化几何概念和命题的网络联结，其目的是优化学生CPFS结构，让学生形成良好几何认知结构。一个良好的几何认知结构，能更好促进学生对几何信息的有效组织，在问题解决中，能以最优、最快的方式找到问题解决方案。那如何促进学生CPFS结构的生成呢？关于数学命题的教学，喻平教授指出，可通过揭示命题形成过程、进行命题变式、形成命题网络、加强命题应用等策略，帮助学生形成完善的命题域和命题系[10]。除此之外，揭示数学命题的方式很多，如命题背景，包括现实背景、数学背景、应用背景等;命题发现方式;命题论证过程;命题构成要素;命题蕴含的数学思想等。对于概念，可从概念产生;概念发展;概念应用;概念推广;概念内涵与外延等来构建概念域和概念系，进而優化学生的几何认知

结构。

参考文献

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]王红兵.针对初中毕业阶段学生范希尔几何思维水平的调查及其分析[J].数学教育学报，2018，27（03）.

[3]王宽明.八年级学生几何推理能力与几何思维水平相关性研究[J].教学与管理：理论版，2013.

[4]黄兴丰.7～9年级学生几何思维水平的发展：来自苏南C市的调查[J].数学通报，2013，52（06）.

[5]黄兴丰.高三学生空间几何思维水平发展的调查研究[J].数学教育学报，2016，25（02）.

[6] UsiskinZ.VanHie Levels and Achievement in Secondary School Geometry[M].Chicago：Unversity ofChiago，1982.

[7] Gutiérrez，Angel;Jaime，Adela;Fortuny，José M.An Alternative Paradigm to Evaluate the Acquisition of the Van Hiele Levels[J].Journalfor Research in Mathemtics Education，22，（3）.

[8]刘京莉.学会用数学语言表达几何逻辑思维过程[J].数学通报，2007，46（05）.

[9]喻平.个体CPFS结构与探究问题能力的关系研究[J].数学教育学报，2006，15（03）.

[10]喻平.CPFS结构与数学命题教学[J].教育研究与评论，2016.

[作者：纪定春（1995-），男，四川资阳人，四川师范大学，硕士生;周思波（1971-），男，四川广元人，四川师范大学，副教授，硕士生导师，硕士。]

【责任编辑 刘永庆】