APOS 理论下变式教学对概念心理图式的建构

福建省诏安第一中学 江晓洁 许伟湘

为了构建更高教学质量的数学课堂，引导学生进行数学学科的能力提升，20 世纪80 年代，杜宾斯基等人提出了APOS 理论，旨在针对学生数学学习的特点，提出一些数学教学理论。在20 世纪90 年代，该理论流入国内，主要在我国高等学校数学课堂中应用，在中等学校并未得到普及。“变式教学”是另外一种教学方式，其在我国广大学校教学工作中有着较多运用。基于此，本文分析了APOS 理论与变式教学的性质特点，并通过分析研究出新的运作方式，以为中学数学教学提供更加多元化的教学方法。

一、APOS 理论的性质

杜宾斯基于20 世纪末发表《APOS：一种构建主义理论》一文，将该理论解释为构建主义理论下的一种具体模式。他提出了概念心理图式的构建主要会经历以下四个阶段：操作阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段。操作阶段是指个体通过学习来获得知识，在外部条件的刺激下得到理论学习的突破。在这一阶段，个体的计算、推理、回忆、总结等数学学习手段成为活动，其中不仅包含个体的肢体动作，也包含个体的思维逻辑内涵。过程阶段是指个体不断重复活动，通过个体的自我反省来将活动内化为过程，在获得将数学概念一般化的能力后，构造更加复杂的活动内容。对象阶段是指个体通过不断学习进步，能够将第二阶段的过程看作一个数学学习整体，进而根据自身能力对整体进行变形分析。在这个时候，整体就变成了个体学习的整个对象。在图式阶段，个体对前三个阶段的内容进行整合后，已经能够在脑海中形成具有综合心理图式，包含数学概念的具体实例、完整定义、抽象过程以及和其他概念相区别、相联系的心理图式。总而言之，APOS 理论对数学学习有着重要的作用，而经过这四个阶段的学习能够更加完整地形成对数学概念的认识，实现数学思维的提升。

二、变式教学的性质

变式教学将变异学习理论作为研究数学教学的工具，在全世界的很多国家都有所应用。我国在课堂教学中运用变式教学进行教学评价，通过对教学进行观摩来研究如何利用变异学习理论提升数学教育教学工作。在变式教学的发展中，很多专家学者对理论进行了补充。1991 年，顾泠沅教授在《学会教学》一书中首先对变式教学进行了解释说明，开辟了变式教学在我国的应用前景，为后来的变式教学研究发展奠定了理论基础。在随后的十几年间，国内很多专家学者、教育工作者对变式教学理论进行研究补充，对变式教学在各年级数学教学中的应用进行阐释，深入地研究了理论对教学实际产生的影响，这对于各学年学生的数学学习能力提高有着深刻的作用。

在变式教学构建心理图式的工作中，有着三个转化阶段：操作、对象阶段；过程、对象阶段；对象、图式阶段。

（一）操作阶段转变为对象阶段

这个阶段是指通过个体在生活中的思考，呈现数学概念的实例。这实质上是对实例的阶段性呈现。在这个阶段，通过对实例进行解析，可以帮助学生积累学习活动经验，从而逐步提高到下一个阶段。在这个阶段，可以设计使用这样的一组变式题型：

例1：请观察下列数列有什么共同特点。

问题1：1，2，3，4，….（同学站成队列依次报数）

7500，8000，8500，9000，9500，….（某品牌商品每个月的价格变化）

在这道题中，学生会发现一些问题。例如数字都是整数，数字的变化都伴随着一定的规律，都是正数等。

问题2：-3，-6，-9，-12，-15，….

10，10.5，11，11.5，12，12.5，13，….

在这道题中，学生会将关注点转移到对每一项的观察中，寻找每一项之间的关联规律。

问题3：a，b 是两个常数

a，2a，3a，4a，5a，6a，….

b，b+a，b+2a，b+3a，b+4a，….

在这道题中，已经完全脱离了具体的数值，学生要通过对以上几个数列的特点进行总结，提炼等差数列的含义，这样就通过抽象的字母完成了对数列定义的探索，形成了操作阶段向对象阶段的转变。

（二）过程阶段转变为对象阶段

过程阶段主要是指引导学生在思考中提炼学习概念内涵，经过思维模式的内化，把过程进行压缩，产生较为抽象的内涵，建立概念模型，最终达到对象阶段。在这个转变阶段中，要运用变式教学明确公式的教学合理性，注意对关键之处进行把握分析，从而达到良好的阶段转化效果。

这样的变式训练能引导学生将此当成一个对象，获得在复杂问题中解决、运算的能力。在实际的教学中，这样的过程通常需要大量的提炼，需要用大量的变式题型加以分析，最终使学生在不同的变式情境中都能够获得问题的答案，从而达到过程阶段的转变目的。

（三）对象阶段转变为图式阶段

在这一阶段中，注重将数学概念的图式通过操作、过程、对象在学生头脑中形成一定的认知，包括概念的实例、抽象的过程、完整的定义以及符号的联系。

例1：根据椭圆的相关知识点判断正误。

变式1：在平面内到两定点F1、F2距离之和等于常数2a（2a ＞|F1F2|时），动点P 的轨迹是椭圆。

这样的变式训练能够使学生有效地找到解决问题的方法，将其中的思想纳入已经建立的思想方法体系中，从而完成对象阶段到图式阶段的转变。

三、APOS 理论下变式教学方法的实施

（一）加强概念理解，深化理论应用

当前我国的数学教学通常使用较为保守的教学方法，采取“小步走”的教学路线，教学内容按照教师的规划循序渐进地进行，教师与学生能够互动和配合，适应大多数学生的学习要求。但针对APOS理论而言，这样的教学意义不大。传统教学方法中，往往不具备深层次的教学意义探究，导致很多课堂活动成为“面子工程”，仅仅是为了活动而活动，成为看似绚烂却空有其表的教学方式。因此，教师应当在数学教学中注重对教学内容的分析理解，在教学工作中加入过程性的变式，通过反映知识的演变过程来引导学生学习其中的本质联系，在活动中真正利用变式训练，让学生充分理解概念的抽象含义，一步步地拓宽学生的知识储备，有层次地提高学生的学习水平。

（二）构建教学情境，贯彻实际经验

数学教学中的教学情境，能够通过提出问题、导入课程来吸引学生进行学习。在具有差异化、现实化、趣味化的教学情境中，发挥APOS 理论下变式教学的积极作用，在一定程度上能刺激学生对概念的理解和分析。教师可以创设现实化的情境，将现实中常见的问题与教学内容相结合，尽可能地使用现实中的场景，更容易让学生接受。在一些较为复杂的知识教学中，教学情境可以帮助学生更好地理解知识内涵，在实际生活中还能够回想起教学情境中的内容，在遇到实际问题时，联想到知识点加以分析解决。基于此，教师应当充分理解所教授的课堂知识，研究分析APOS 理论及变式教学方法，思索出理论与课堂相结合、变式与教学相结合的方法，探究丰富的教学模型，准备充实的活动材料，将生活中的实际经验传授给学生。在课余时间，为学生创造更多的探究机会，让学生能够进行观察、分析、试验、总结、证明，引导学生通过自身努力将知识生活化，从而提高学生的核心素养。在此过程中，教师要关注学生对概念的掌握能力，达到教学目的。

综上所述，我国教育教学工作不断发展完善，出现了很多行之有效的教学方法。当下，APOS 理论与变式教学相结合，能够对教学工作产生一定的积极影响。通过本文的分析能够得知，当前的数学教学从加强概念理解、深化理论应用、构建教学情境、贯彻实际经验等方面入手，能够在一定程度上提高教学工作水平，让学生在更好的教学环境中获得良好思维的养成和学习能力的提升。