管窥2019年浙江高考第21题

浙江省宁波市第四中学 (315016) 蒋亚军

1.题目呈现

如图1，已知点F(1，0)为抛物线y2=2px(p>0)，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.

图1

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

2.解法剖析

2.1 抓住抛物线的属性

解法1:设直线AB的方程为x=ty+1(t>0)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)，与抛物线方程y2=4x联立可得y2-4ty-4=0，故y1+y2=4t,y1y2=-4.

评注：上述二种解法是解析几何的常规方法，解法1利用相关条件，从联立抛物线与直线方程入手；解法2通过设点建立起它们之间的联系，虽然说是通性通法，考虑到变量比较多，统一转换为A点的纵坐标t，对学生数学运算能力的要求比较高.

2.2 挖掘三角形的性质

2.3 借助向量共线定理

评注：解法6依托平面向量基本定理及三点共线，将三角形面积之比等价转化为系数之比，使得问题转化为学生所熟悉的基本不等式型求最值问题.该解法有效地避免了三角形面积的繁琐计算和复杂的表示，可谓是运算的第三层次.

3.几点感悟

3.1 研究试题命制，感悟核心素养

纵观上述试题的研究，其一：充分体现试题的层次性，第(1)注重基础，重点考查基础知识；第(2)难度逐步提升，让各个层次的学生都有所获，通过设计动点或动直线问题，重点考查学生综合运用知识解决数学问题的能力，让学生充分感悟逻辑推理、数学运算、数形结合思想在本题中的渗透，体现能力立意.这促使教师在教学中，要重视解题过程的演示，学生要重视对解题过程的体验，这样不仅能巩固相关知识点，还有助于逻辑推理和数学运算素养的构建，也提升了学生提出和发现问题、分析和解决问题的能力.[1]其二：彰显数学建模的重要性，本题的基本模型是平面几何中“燕尾定理”，将这个三角形构建在抛物线上，同样我们将这个三角形构建在椭圆或双曲线上，得到相关的试题(如图2，图3所示).

图2 图3

3.2 探究试题解答，体现核心素养

通过对解析几何解答题的深入研究，分析其典型试题的试题命制、解答过程、探究推广，能更具象化地揭示其所蕴含或要求的核心素养，帮助学生弄清问题的本质，追本溯源，注重思路的产生过程，也有利于强化培养学生数学核心素养的理念.