基于极限定义教学的学生创新思维培养

郑中团 王国强 李路 刘文博

摘  要：极限是高等数学的基础，通过极限概念的教与学，以期激发学生的创新思维。首先，通过定性描述，语义表达转换，数形结合及问题转化等，引导学生观察归纳，从特殊到一般，“探索式”得到数列极限的精确定义;其次，给出改进的描述性定义——“任意方式”和“唯一确定”的表述形式，启发学生进行类比，从而更直观、更快地理解极限定义和相关定理。

关键词：极限  高等数学  合情推理  创新思维

中图分类号：O171   文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）03（b）-0217-02

极限理论是高等数学的基础，无论导数，还是各类积分的定义，都离不开极限的概念[1，2]。极限既是一个过程，又是一个状态。它反映了一个函数在无穷变化过程中的发展趋势和最终状态。如何深入浅出，使学生准确地理解掌握这一概念，笔者在教学过程中有一些体会，进行了一点探索，以期激发学生的探究能力和创新思维，从而激发他们对数学学习的兴趣。

从极限的定性描述出发，通过转换说法，数形结合，由有限到无限，问题转化，最终探索式的“翻译”成精确量化的ε-N表述，使定性和定量在讲解时“快速”成为一体，从而借助极限一般性描述的易懂性，使学生在短时期内较准确理解抽象的极限的精确定义。

这个探索过程中蕴含了观察归纳，特殊化和普遍化等合情推理策略[3-5]。合情推理，不同于论证推理，它是数学发现与猜测探索的一种手段。重视猜想、学会猜想、运用猜想来进行探索思考，将此策略贯穿在高等数学的教与学的过程中，必然会激发学生的创新发现思维，从而激发他们对数学学习的兴趣。

2  极限定义的“任意方式”和“唯一确定”表述形式

类比也是合情推理的一种策略。所谓类比，就是某种类型的相似。相似的系统在某个方面彼此一致，类比的系统则其相应部分在某些关系上相似。例如，长方形可与长方体类比，事实上，长方形各边之间的关系与长方体的各面之间的关系相似：长方形的每一边恰与另一边平行，而与其他边垂直;长方体的每一面恰与另一面平行，而与其他面垂直。数学中可类比物很多。下文进一步通过极限定义的“任意方式”和“唯一确定”表述形式，对“类比”这种手段加以阐述。

由ε-N定义不难得出收敛数列极限的唯一性，结合此性质和ε-N定义，对描述性定义进行改进。

定义1：对于数列{}，如果当n以任意方式无限增大时，数列值无限趋近唯一确定的数值α，则数列{}收敛于α。否则，数列是发散的。

从改进后的定义1中可以提炼两个关键词“任意方式”和“唯一确定”，也即在数列极限定义中自变量n→∞的方式任意，但相应的数列值变化趋势唯一。通俗地讲，在数轴上，无论n以何种方式趋近∞，相应的数列值仅无限接近一个确定的常数α，则称该数列收敛且极限为α;反之，当n以不同子列的方式趋近∞，相应的数列值无限接近不同的常数（包括+∞或-∞），则该数列发散。通过类比，这种表述可归结为下面的定理。

定理1：如果数列收敛于α，则其任意子列一定收敛且必收敛于α。

定理1表明，如果某数列的两个子列收敛于不同的值（包括+∞或-∞），则此数列一定发散。如{（-1）n}，这里n→∞选择了两种特殊方式，n以奇数或偶数的方式趋近∞，相应地，，，故此数列发散。

进一步，类似于定义1，“任意方式”和“唯一确定”表述形式可以类比推广到函数极限甚至多元函数极限，这种表述有利于更直观、更快地理解极限定义和相关定理。

定义2.当以任意方式无限趋近∞（或||以任意方式无限增大），相应地函数值无限接近唯一确定的常数A，则A称为函数当时的极限，记为或→A（），否则发散。

由定义2，中的方式任意，包含了+∞与的同时进行，由此可得，;而+∞与-∞的同时进行包含了的任意方式，由此可得，。

由定义2，中的方式选择正方向并以离散数列的特殊形式n，则，由此可利用函数极限求数列极限。

定义3。当以任意方式无限趋近0，相应地函数值无限接近唯一确定的常数A，则称为函数当时的极限，记为或（），否则发散。

类似于定义2的分析，等价于与的同时进行，从而。

由定义3，中当以离散数列n的方式趋近0，相应地就有;当以不同的数列n方式趋近0，相应的函数值无限接近不同的常数（包括+∞或-∞），则该当时的极限不存在，由此给出了判断函数极限不存在的一种方法。严格的结论表述为下面的定理。

定理2：如果极限，{}为函数定义域内一收敛0的数列，且（n∈N），则对应的函数值数列也收敛，且。

注：定理2给出了用于判断函数极限不存在的一种方法：（1）找一个数列{}（），使得时，不存在，则极限不存在;（2）找两个趋于0的不同數列{}，{yn}，若，则极限不存在。

3  结语

该文是极限定义讲解的两点注记。观察归纳、一般化与特殊化、类比推广等策略不仅仅可用于极限定义讲解的过程中，更应贯穿于高等数学的教与学的过程中。这一套合情推理策略是一套数学发现的方法，是提高解题能力的一条好途径。又因数学题和生活工作中的问题有许多相近相似之处，故它又是解决一般问题的思想方法。这类方法的运用与实践强调让学生自己猜测探索与发现问题，势必可以调动学生的学习积极性，有助于培养学生创新思维的能力，有助于培养学生勇于进取、科学探索的精神。

参考文献

[1] 同济大学.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 华东师范大学.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[3] 乔治·波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[4] 乔治·波利亚.数学的发现[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.

[5] 乔治·波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2001.