批判性思维：儿童数学学习的“关键素养”

张齐华

摘要：批判性思维是指个体对某种现象、结论、主张的真实性、准确性、适用性等方面做出的审慎判断。它是儿童数学学习的“关键素养”。小学数学教学中，发展儿童的批判性思维，要抓住三个基本要素：作为最初起点的提问、作为内在核心的逻辑、作为最终目标的求真;依赖三条关键路径：整体上关注论点的准确性，源头上关注论据的科学性，过程中关注论证的严密性。

关键词：批判性思维数学教学论点论据论证

在发展学生的批判性思维已经成为全球各国教育改革的共同诉求之时，作为身处教育改革具体场景之中的数学教师，我们需要思考的问题是，这样的核心目标是否可以在数学学科的教学中得到落实。

事实上，笔者借助文献研究发现，语文学科、历史学科、英语学科的教学是开展批判性思维培养研究和实践的主阵地，结合数学学科教学开展批判性思维培养研究的文献极为有限，利用数学学科教学进行批判性思维培养实践的文献更是凤毛麟角。

想来，这与数学学科自身的属性有关。毕竟，精确性、逻辑性是数学学科的重要特质。对于这样的学科，批判性何来之有？

然而，这正是本文需要回应的重要问题。笔者认为，数学学科所具备的属性，恰恰成为我们在数学学科教学中开展批判性思维培养研究和实践的关键理由。

一、从一次学生发起的教学挑战说起

在《圆的周长》一课即将结束时，学生小K向我提出质疑：“无限循环小数为什么会無限循环，我们可以通过除法过程中余数的重复现象来说明。可是，π是无限不循环小数，我们该如何证明呢？万一π就是无限循环小数，只不过循环节非常长甚至无限长呢？更何况，刚才的计算中，最多的人也只算到了小数点后第六位。”对于突如其来的质疑，我没有足够的知识和心理准备，只好答应第二天给出答复。查阅足够的资料后，第二天，我给了小K翔实的回答。

然而，没想到小K又抛出了第二个问题：“之前我们就知道，两个数相除的商不是整数，就是有限小数或无限循环小数。可是，π就是圆的周长除以圆的直径的商啊，为什么结果是一个无限不循环小数呢？”我很好奇，为什么小K的脑子里装着那么多问题。好在，这个问题不难解释，我很快就利用“我们之前讨论的数域和现在讨论的数域不同”给出了说明。小K也表示完全理解，还给出了自己的推论：“看来，在圆的周长和直径两个量中，至少有一个量是无限不循环小数，否则就不可能出现这样的结果了。”

正当我暗暗佩服时，小K的新问题又接踵而来：“是不是只有在研究曲线问题的时候，我们才会遇到无限不循环小数？”这个问题我有答案，但我不想简单地告诉他，于是提示他：“你可以查一查资料，看看能不能找到答案。”第三天，小K带来了他的答案：“我知道了，边长1厘米的正方形，它的对角线长就是一个无限不循环小数。”

但是，问题显然还没有结束：“既然小数中有有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，那么究竟哪一种小数更多？”“无限不循环小数能进行加、减、乘、除运算吗？运算的结果还一定是无限不循环小数吗？”……

或许有人会说，这没有什么啊，充其量只是说明了小K是一个充满好奇、善于提问的学生。但是，笔者想说，小K在上述学习历程中所表现出的对数学现象的好奇，以及对现象背后数学原理与本质的持续追问和探索，恰恰展现了一个拥有良好批判性思维的学生最关键的特质。这样的学生常常对现象和知识保持着一种独特的好奇。他们不会满足于既有的答案和结论，而会不断对其发出质疑和挑战，并在这一过程中，让自己的认识和思维得到不断发展和深化。

虽然这样的学生常常会给教师带来巨大的挑战，但是，我们必须承认，批判性思维是当下学生稀缺的一种宝贵的思维品质。让更多的学生拥有批判性思维，是当下的数学教学面临的又一重要挑战。

二、批判性思维的内涵解读与价值探寻

（一）内涵解读

批判性思维（Critical Thinking）原义为审辩性思维。引入国内时，最初翻译为批判性思维，就一直沿用至今。由于翻译的原因，加之日常语境的误解，造成大家一提到批判性思维，就等同于批判、否定、推翻。事实上，批判性思维绝不能简单地等同于批判和否定、推翻，它有着更积极、更丰富的学术内涵。

综合国内外多数学者对批判性思维的定义，笔者认为，大致可以这样理解批判性思维：它是指个体对某种现象、结论、主张的真实性、准确性、适用性等方面做出的审慎判断。

比如，上述案例中，小K提出的“π究竟是不是无限不循环小数”“两个数相除怎么可能出现无限不循环小数”“无限不循环小数是不是只存在于曲线问题中”等问题，正是其对相关结论的真实性、准确性和适用性提出的质疑。当然，提出问题只是批判性思维的开端，而通过进一步的研究、思考和论证，对相应结论做出“审慎判断”，才是真正的批判性思维。

由此可见，批判性思维并不是对原有现象、结论或主张的简单否定。它只是表现为对大家已经公认的、习以为常的对象提出质疑，目的在于通过持续的追问和严密的论证，让这些对象的真实性、准确性和适用性等得到进一步确认。

（二）价值探寻

当下的社会早已进入信息化时代，面对每天铺天盖地的海量信息，能够做出审慎的辨别、筛选，是合格公民应具备的重要素养。从内涵解读可以看出，批判性思维的过程，对发展个体的理性思维无疑具有重要的价值。

近十几年来，关于“核心素养”的研究与测评日益引起全球关注。2018年初，北京师范大学中国教育创新研究院首次对外发布《21世纪核心素养5C模型研究报告（中文版）》。这份报告吸纳了中国学者在相关领域的研究成果，并基于我国社会、经济、科技、教育发展需求，提出了“21世纪核心素养5C模型”，包括文化理解与传承、审辩思维、创新、沟通、合作这五大素养——由于这五大素养的英文首字母均为C，所以称该模型为“5C模型”。

从审辩思维是“5C模型”中的一大素养，可见新一轮课程改革对批判性思维的关注。此外，创新也是“5C模型”中的一大素养。而创新本身就要求对已有的现象、结论和主张提出质疑、审视和创造，故批判性思维是创新的重要前提。因此，可以说，批判性思维是一个“关键素养”。

三、小学数学教学中发展儿童批判性思维的可能性和必要性

数学是一门崇尚理性的学科。所有数学知识、方法、原理、法则的得出，都不是源自个人的现实经验，而是基于基本的概念和要素，借助数学的抽象、推理和建模。无论数学学科发展的过程，还是数学学习的过程，都天然包含着批判性思维，是对真理的探索，是对数学中的各种现象、结论、主张的真实性、准确性、适用性等的审慎判断。離开批判性思维，数学学科发展将举步维艰，数学学习也同样如此。

那么，小学数学教学是否适合发展学生的批判性思维？笔者以为，小学生正处于思维的启蒙阶段，他们对一切新鲜事物都保持好奇，爱追问、好探索是他们的天性，这给在小学数学教学中发展批判性思维带来了得天独厚的优越条件。与此同时，小学生由于刚刚接触正式意义上的数学，数学思维的发展刚刚起步，具有巨大的可塑性。这时，如果能给他们种下批判性思维的种子，则既可以让他们初步感受批判性思维的模样，体会批判性思维的魅力，也可以为他们未来思维成熟之后，灵活应用批判性思维应对后续学习与日常生活、工作中的挑战奠定基础。可以设想，如果在起步阶段，学生的批判性思维没有得到相应的启蒙，一旦就这么成长起来，原有的已经固化的思维方式和模型想再修正与升级就十分困难了。

四、发展儿童批判性思维的实践与探索

除了营造适宜的学习情境和氛围，创造适合发展批判性思维的学习任务和机会以外，如何厘清批判性思维的基本要素，规划发展批判性思维的关键路径，是教学实践中需要探索解决的重要问题。

（一）批判性思维的基本要素

批判性思维有着极为丰富而复杂的内涵，简单梳理下来，基本要素有三：

1.提问：批判性思维的最初起点。

传统的数学教学，往往以学生得出数学原理、法则，解决相关的数学问题，做出相应的数学推断等为学习的终点。然而，原理、法则是否为真，解决问题和做出推断的过程与方法是否科学合理，其中是否潜藏着不易察觉的漏洞与陷阱，所有这一切都需要经受思维的再检验。而这一过程中，提问是最初的起点。

除了“是什么”“为什么”等常规提问以外，“真的是这样吗？”“会不会有特殊的情况存在？”“这一结论适用所有范围吗？”“推理的过程是否严谨？”等问题，都是批判性思维得以启动的重要起点。提问的过程，是对已有结论、方法和适用范围的质疑，是对已成定论的数学内容的再思考。可以说，没有持之以恒的提问，没有追根究底的质问，没有层层深入的追问，就不可能有真正意义上的批判性思维。

2.逻辑：批判性思维的内在核心。

提问只是将思维引向了对原有结论和现象的批判。但是，批判不是盲目地否定和推翻，而应该将数学的结论、过程、方法等重新置于思维的检视下。而唯一能够做出检视的，就是逻辑推理。

数学结论之所以为真，并非由人的主观意志和想象决定，而是源自基于客观事实抽象出的数学概念，以及由此展开的严密的逻辑推理。其中，既包括由特殊推向一般的归纳推理，也包括由一般推向特殊的演绎推理。原则上说，只要前提正确，而推理过程又严格遵循逻辑规则，那么所得的数学结论也应该正确。从而，原有思维过程能否经受逻辑的考验，是批判性思维的内在核心。

3.求真：批判性思维的最终目标。

批判性思维不能简单地等同于否定和推翻，它是指向建设性的，其目的是实现对已有结论、方法真理性的再检验和再确认。

检验的结果无非有三。如果完全正确，则批判性思维终止，结论、方法得以确认并参与新的应用。如果完全错误，则需要从思维的源头与过程中发现问题，寻找出错的原因，并进行修正。当然，也存在局部正确的情况，此时，需要寻找不够全面、准确的原因，并对原有的思维过程进行调整和完善，以弥补原有的漏洞，得到更全面、准确的思维结果。而这一过程中，如果能引导学生举一反三，提炼和概括思维过程中存在的问题，并在今后的学习中加以避免，就可以有效地提升学生思维的准确性、可靠性，发展学生的思维能力和品质。

（二）发展批判性思维的关键路径

基于逻辑审慎判断的批判性思维通常是由论点、论据和论证三个维度构成的。教学实践中，我们可以引导学生从这三个维度对原有的数学结论与方法进行质疑和批判。

1.整体上，关注论点的准确性。

论点准确与否，是批判性思维首先要关注的问题。数学中的多数结论，具有唯一的客观准确性，但这并不意味着，学生不可以对其准确性提出质疑、展开讨论。尽管最终的结果未必能改变论点本身，但是质疑与讨论的过程是对批判性思维的最好训练，可以培养学生审慎地面对一切看起来似乎为真的结论的意识。

比如，《三角形的内角和》一课，学生通过测量发现，无论怎样的三角形，其内角和都在180度左右，进而给出“三角形的内角和都是180度”的结论。教师没有止步于此，而是引导学生重新回到实验数据，并展开讨论——

师你们确定三角形的内角和真的都是180度吗？为什么？

生因为我们的测量数据都在180度左右，所以三角形的内角和就是180度。

生因为数学书上给出的结论也是180度。

师数学书上给出的结论一定是正确的吗？如果书上的结论就是正确的，我们为什么还要做实验呢？请大家看一看我们刚才的测量结果，你有什么问题吗？

（学生稍事思考，陆续举手。）

生我发现，我们刚才测量的数据中只有一个在180度以上，剩下的几个都在180度以下。那么，会不会三角形的内角和不是180度，而是179度呢？我看了一下，这些结果的确都在179度左右。

生虽然我确信三角形的内角和就是180度，但是的确，我们通过这些数据，并不能得出三角形的内角和是180度。充其量，我们只能说，三角形的内角和在180度左右。

生是的，我觉得实验总是有误差的。要想确认三角形的内角和究竟是多少度，我们还需要找到新的方法。

上述教学中，原本已经显而易见的论点在教师的刻意引导下展露出新的可能性，学生的思维也在这一过程中一点点被打开。毋庸置疑，最终的结论还会回到“三角形的内角和是180度”上。但是，这样的质疑和思辨，恰恰给学生做出了良好的示范，也给他们的批判性思维播下了种子。

2.源頭上，关注论据的科学性。

论点准确与否源自论据的科学性与论证的严密性。不恰当、不合理、不充分的论据会直接影响论点的准确性，即便论证过程不存在任何问题。因而，要发展学生的批判性思维，还应该着力引导学生寻找支撑论点的论据，看一看这样的论点究竟是由怎样的论据推理得出的，从是否恰当、合理、充分等多个维度对论据做出审慎评判。

比如，周长相等的所有平面图形中，哪一种图形的面积最大？教学中，为了方便学生展开探索，我们一般会给出相等周长的三角形、长方形、正方形、圆形各一个，并引导学生计算这些平面图形的面积。通过计算，学生很快发现，所有这些平面图形中，圆的面积是最大的。

无疑，这样的探索过程中，论点是“周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大”，论据是“给定的相等周长的各平面图形的面积”，论证指向“因为这些平面图形的周长相等，而且圆的面积最大，所以，周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大”。不过，问题来了：要想说明上述论点，仅依靠这样的论据够吗？众所周知，平面图形除了上述四种以外，还有更多的情形。仅依靠这四个数据，就想得出“周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大”显然是远远不够的。小学生有充分的理由怀疑：会不会在相等周长的情况下，椭圆的面积比圆大？正十边形的面积比圆大？毕竟，圆的面积最大，并不是直观上显而易见的。

这样的情形，在“统计与概率”领域更为普遍。数据分析观念告诉我们，要想对有些问题做出决策，我们需要收集数据并对数据做出分析。然而，不是任何数据都能帮助我们做出科学的统计推断的。有时，数据选择过于片面，或数据样本太小，或数据收集过程不够严谨等，都会严重影响论点的准确性。比如，要想确定身高多少的学生可以免费乘坐火车，如果只在城市里采集数据，显然就有失公允。再如，要想了解当下小学生的近视情况，如果只在农村中开展调研，所得的结论就未必真实可靠。由此不难得出，要想得出更加客观、全面、准确的结论，数据的选择尤为重要。

3.过程中，关注论证的严密性。

论据的科学未必能带来论点的准确，这中间还隔着一个论证的过程。论证是否严密、经得起反复推敲，是论点是否准确的关键因素，也是初步发展学生的批判性思维的重要切入点。在日常教学中，我们既要引导学生审视论据的恰当、合理、充分，更要引导学生关注论证的严密与可靠。

比如，平行四边形的面积能不能用邻边相乘来计算？教学中，有学生给出了肯定的答案，并提出了这样的论证过程：因为长方形的面积就是用它的长乘宽，也就是邻边相乘得到的，而长方形是一种平行四边形，所以平行四边形的面积也可以用邻边相乘得出。

这里，学生之所以得出错误的论点，就是因为论证不够严密。我们都知道，在逻辑上，由一般推导特殊是可行的，但是，从特殊推导一般未必成立。仍以平行四边形和长方形为例。长方形是特殊的平行四边形，所以，可以根据平行四边形的性质推出长方形的性质。比如，平行四边形的对边平行且相等，所以，长方形的对边平行且相等。但是，反过来就不一定了。比如，长方形的对角线相互平分，所以，平行四边形的对角线相互平分;长方形的每一个角都是直角，所以，平行四边形的每一个角都是直角。这两个推论中，前一个论点是正确的，而后一个论点是错误的。

当然，还存在由错误的论据和论证引出正确论点的情况。这时，我们更不能被正确的论点蒙蔽了双眼，而应该养成对论据、论证及论点进行全方位审视与观照的习惯。这样的过程，或许会比较耗时，但是，长期经受这样的训练，学生的思维一定会获得一种特殊的敏感性，对所有显而易见的结论保持一种审慎的态度。而这样的思维习惯，以及逐步领悟和掌握的思维技能，恰恰会构成学生批判性思维的雏形，在未来更复杂的学习情境甚至社会生活与工作实践中，都有可能给学生带来收益。