如何上好数学概念课
——以“平方根”的教学设计为例

■张晓蔚

数学概念课是数学基础知识和基础技能教学的核心，任何一部分内容的教学，都离不开概念教学。如何高效实施数学概念教学，值得我们思考。下文笔者以“平方根”的教学设计为例，对概念课教学进行阐述。

一、教学设计

1.学习目标。

知识与技能：

（1）了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；

（2）了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。

过程与方法：

（1）通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维；

（2）通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等数学思想方法的运用，提高对问题的迁移能力。

2.教学流程。

（1）问题与情境。

师：我们学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算，在这五种运算中哪些是互为逆运算的呢？

师：正方形面积为25 平方厘米，那么它的边长是多少呢？

生：5厘米。

师：如果把面积改为2 呢？那么它的边长是多少呢？我们在已学过的数的范围内找不到这个数，那么今天便来学习“平方根”。

设计意图：回顾几种运算，一方面为引进平方根的概念起到借鉴作用，另一方面为弄清楚开平方运算做铺垫。通过引入，学生感受到今天是一节概念课，同时也是一种运算的呈现。

（2）探索规律，揭示新知。

师：在已知正方形面积25，求正方形的边长的问题上，我们实际上在思考哪个正数的平方是25。大家易想到5。那如果老师写出以下式子，括号里应该填什么数呢？（ ）2=25；（ ）2=4。

生：5和-5；2和-2。

师：很好，我们知道 25 是正负 5 的平方，4 是正负2 的平方，那么反过来，正负5 是25 的什么呢？正负2是4的什么呢？

生：平方根。

师：很好，大家能感受到平方和平方根的联系与区别吗？你能举出类似的式子吗？互相问答并分小组讨论平方根的定义。

小结:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根（或二次方根）。就是说，如果x2=a，那么x叫a的平方根，记作

师：知道了平方根的概念和表示方法，请问（ ）2=2？

设计意图：情境问题的延续，对平方根的本质进行探讨，学生能够较快地接受平方根的概念。学生在活动中初步体会一个数的平方根的个数与这个数的性质有关。

师：你能编几个求平方根的题目，考考你周围的同学吗？

接着教师提问：（ ）2=9（ ）2=5；（ ）2=0；（ ）2=-4。

师：同学们发现了什么？

生：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 因为只有0 的平方得0，所以0 只有一个平方根，是本身。因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根。

设计意图：学生通过对具体的数的平方根进行讨论交流，总结出正数、0、负数的平方根的情况。学生亲自探索规律过程，加深对规律的理解。

师：我们通过探讨得到了正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根，记作而求一个数a的平方根的运算，叫作开平方（a≥0）。

师：请同学们说说平方根和算术平方根的联系与区别。

生1：平方根有两个；算术平方根有一个，是正的那个。

生2：不对。应该说正数的平方根有两个；正数的算术平方根有一个，是两个平方根里正的平方根。

师：很好，也就是说我们求某个正数的平方根，应该写出两个，而求某个正数的算术平方根只能写出一个。那么0有没有算术平方根呢？

生：是0。

师：对，0 的平方根只有 1 个，规定 0 的算术平方根也是0。

设计意图：指明概念，给出相应问题，层层辨析，再转化成符号语言，培养学生的数感和符号感，让学生弄清楚平方根和算术平方根的区别和联系。提问中再现概念，思考本质，巩固深化。

（3）学以致用。

例1判断下列各数有没有平方根，如果有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。

（1）81；（2）-81；（3）0 ；（4）（-7）2；（5）-72。

例2求下列各数的平方根。

请你说出上述各数的算术平方根。

例3（1）若有意义，则a的取值范围是__________。

设计意图：围绕教学目标，明晰概念。学生通过例1判断有没有平方根，关键看所求的数是不是非负数；学生通过例2再次感受到非负数的算术平方根的唯一性。而例3用字母代替数字，让本节课提升到一定的高度。根据算术平方根的意义，有隐含条件，根号下的式子必须大于等于0，学生能更深刻地理解被开方数的非负性，也为以后二次根式的学习做铺垫。

二、教学反思

数学概念都有其本质特征，教学过程中应注重概念的分析，一步步揭示概念的本质。在平方根的教学中，笔者创设了恰当的背景引入概念，通过问题再现，引导学生观察、分析并尝试概括平方根的真正内涵与实质。教师在教学中主要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在探索中逐步理解概念的本质，同时有效的数学概念教学不是以让学生学会概念为终极目标，而是让学生在参与活动中生成和构建数学概念，更要让学生体悟概念蕴含的丰富的实际意义，理解它的生活价值，获得对知识的整体认知。