妙招解圆锥曲线题两例

浙江省湖州市菱湖中学高二（1）班 浙江 湖州 313018 指导老师 吴凯

圆锥曲线的运算量应该是高中学习中较大的，我自己在这块内容上比较薄弱，在考试中常常因为计算问题而导致失分.所以，我尝试通过学习一些二级结论或者一些拓展延伸的知识，优化解题方法，这样能够降低题目的运算量，从而加快解题速度。

例如，圆锥曲线的第三定义，如图1.

证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO，K=K，

由点差法结论：KK=e-1=-b/a知此结论成立.

证明：只需将椭圆中b的全部换成-b就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

我的解题分析：常规方法主要是设点代入求解，但是如果我们用椭圆的第三定义则可秒解此题.解答如下：

本题虽然是一道基础运算题，但是通过椭圆的第三定义省去了计算，直接解得答案。

然而，圆锥曲线的解答题让不少同学觉得更加头疼.我的数学老师曾经在课堂上讲过，圆锥曲线就相当于是数学考试里的“作文题”.确实，圆锥曲线的计算太繁琐了，通常都会有大篇幅的运算过程，但我们能否找到方法简化过程从而解决问题呢？那一定是有的.记得有次老师上课时简单提到了“椭圆化圆”思想，我很好奇，一下课我就去找他询问，通过老师的解释和我放学后在网络上查找资料，终于能明白一二了，我惊奇地发现把这个思想融入到圆锥曲线的计算中，也是一种妙法.那么，先来讲一下“椭圆化圆”思想的原理.

性质1 变换前后共线三点单比不变，即变换前后三点的任意两个线段的比值一样；

性质2 变换前后保持同素性和结合性，即若变换前直线与曲线相切，则变化后一定相切；

性质3 变换前后对应图形的面积比不变。

通过以上这些性质，我们就可以把“椭圆问题”和“圆的问题”等价联系，形成快速解题.那么，“椭圆化圆”应该怎么应用到题目中呢？我们来看一道经典的高考压轴题。

图2

AEBF

解答过程如下：

图3

O

E

F

A

B

由此可见，相比于常规解题方法，运用“椭圆化圆”将椭圆问题转化为圆的问题，能简化运算量，不失为一种好方法。

本文所给出的的两个案例就是我近期学习中的一些思考，分享给大家，这也仅仅是抛砖引玉，圆锥曲线的海洋，数学的海洋，无边无际，更待大家探索和发现。