初中数学实际问题与方程的应用

黑龙江省黑河市第五中学 黑龙江 省黑河市164300

在《张邱建算经》中，原书卷下第38 题，也是全书的最后一题：“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”

这个问题用算术或方程来解都可以，初中的实际问题我们运用的都是方程的思想来解。

下面就来谈谈初中数学实际问题与各类方程的应用。

一、初中方程的类型。

初中一共有四种类型的方程。

1.一元一次方程。

定义：一元一次方程指只含一个未知数、未知数最高次数为1 且两边都为整式的等式。形如：ax+b=c（a、b、c 都是常数，a ≠0）

2.二元一次方程组。

定义：由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

3.分式方程。

4.一元二次方程。

定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（其中a、b、c 是常数，a≠0）

二、初中常见的实际问题的类型。

行程问题、船航行和飞机飞行的问题、工程问题、销售问题、调配问题、配套问题、方案设计问题等。

三、初中常见的实际问题的公式。

1.行程问题的基本量：路程、速度、时间。

公式：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间。行程问题的基本类型有：相遇问题和追及问题。（1）相遇问题：快车的路程＋慢车的路程＝原距。（2）追及问题：快车的路程－慢车的路程＝原距。

2.轮船航行和飞机飞行的问题：

顺水（顺风）速度＝静水（无风）速度＋水流（风速）速度，

逆水（逆风）速度＝静水（无风）速度－水流（风速）速度；

公式变形：水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2。

3.工程问题：

工程问题中的三个量：工作总量、工作效率、工作时间。

它们的关系为：工作总量＝工作效率×工作时间。通常工作总量设为单位1。

4.销售问题：

常见公式：利润=成本×利润率；定价=成本×（1+利润率）；售价=标价×折扣率。

第二、明代白银货币化引发闽东银矿开采热，在推进白银文化形成中亦引发诸多社会问题。这些问题引起朝廷、地方官吏、乡绅阶层、矿业主、矿工和平民百姓等各个层面人员的思想和行为等的变化，众多人员皆指向白银，于是白银逐渐被神化，出现白银拜物教；而矿税监的贪婪，地方官吏和乡绅阶层的反思、碰撞，矿主和矿工们关于开采技术、观察天气、完善管理环节，进而盗矿偷煎，甚至公然与政府对抗。平民百姓为银绞尽脑汁为白银产业链提供各类服务等。白银文化在众多推理下走向成熟。

5.配套问题：

若甲:乙=a:b，则b×甲的数量=a×乙的数量。

四、同题异程。

同种实际问题可以选用不同的方程，选用哪种方程主要决定于实际问题中给定的已知条件和未知问题，当改变条件同时也改变结论，那么所要选择的方程就不会一样了。

（一）行程问题：

例题：小李从A 地步行到B 地比乘公交车多用了3.6 个小时，已知他步行的速度是8 千米/时，公交车的速度是40 千米/时，试求A、B 两地之间相距多少千米？

解：设甲、乙两地相距为x 千米。

x/8-3.6=x/40

总结：此时用一元一次方程来解决。

变式一：小李从A 地步行到B 地比乘公交车多用了3.6 个小时，已知A、B 两地之间为120 千米，步行比乘坐公交车每小时少20 千米。求步行速度和公交车的速度分别是多少？

解：设步行速度是每小时x 千米，公交车的速度是每小时（x+20）

总结：此时用分式方程来解决。

（二）船航行问题：

例题：一艘小船在A、B两地航行,顺流用10小时,逆流用15小时,已知水流速度是25 千米/时，求船在静水中的速度是多少？

解：设船在静水中的速度是x 千米/小时。

10（x+25）=15（x-25）

总结：此时用一元一次方程来解决。

变式一：一艘船在相距200千米的两地航行,顺流航行用10小时,逆流用15 小时,求船在静水中的速度和水流速度各是多少？

解：设船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时。

总结：此时用二元一次方程组来解决。

变式二：一艘船在相距200 千米的两地航行,逆流比顺流多用5 小时,已知水流速度是25 千米/时，求船在静水中的速度。

解：设船在静水中的速度是x 千米/小时。

200/(x+25)+5=200/(x-25)

总结：此时用分式方程来解决。

综上所述，初中常见的实际问题比较简单，而方程也只有四种，因此每一种实际问题所对应选用的方程比较明显。仔细辨别，从条件和结论中即可判断出来。