一个关联指数函数核的Hilbert型不等式

有名辉

(浙江机电职业技术学院 数学教研室, 浙江 杭州 310053)

20世纪初Hilbert提出了著名的Hilbert不等式,至今已有百年发展历史.100多年来,研究者们对Hilbert不等式及其相关形态进行深入探究,取得了很多新成果.这些新成果应用非常广泛,特别是在分析学相关领域有着不可低估的作用[1].通常,Hilbert不等式表述为[2]：

(1)

其中，π是满足式(1)的最佳常数因子.

近年来，通过对式(1)的核函数参数化,并考虑相应的离散形态、半离散形态、高维推广、系数加强,研究者们建立了大量与式(1)有关的新成果[3-12].通过类比演化,大量含有新核函数的Hilbert型不等式也出现在各类文献中.如文献[13]建立了如下齐次核的Hilbert型不等式：

(2)

其中，a>0,β>0,μ(x)=x1-2β,ν(x)=x1+2β.

文献[14]建立了如下非齐次核的Hilbert型不等式:

(3)

在式(3)的基础上,文献[15]通过φ(x)=cscx的有理分式展开,建立了一个全平面上的Hilbert型不等式：

(4)

本文构造与指数函数有关的积分核函数，并兼顾齐次和非齐次两种形式，借助统一的处理方法，建立一个类似式(2)、式(3)和式(4)的Hilbert型不等式.

1 定义与引理

定义1 设z>0,记第二型欧拉积分：

即Γ函数.特别地,当z∈+时,Γ(z)=(z-1)!.

引理1 设b>a>0，η∈{1,-1},λ>0,β>-λ，

K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ，

记

(5)

则

(6)

证明若β=0,对任意的η1,η2>0,利用简单的变量代换,并借助积分第一中值定理,得：

其中，a<ξ1,ξ2

(7)

若β≠0,则由分部积分得：

(8)

由式(7)、式(8)得式(6)成立.

引理1证毕.

引理2 设b>a>0，η∈{1,-1}，λ>0，β>-λ，定义

Dη:={x:x>0,xη<1}，

且

K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ，

则当n→时，有:

(9)

证明作变量代换xyη=u,由Fubini定理可知:

令n→,并利用式(5),得：

2 主要结果

定理1 设b>a>0,η∈{1,-1},λ>0,β>-λ,μ(x)=xp(1-β)-1,ν(x)=xq(1-ηβ)-1,f(x),g(x)≥0,且满足f∈Lp,μ(+),g∈Lq,ν(+),K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ,则

(10)

其中，C(a,b,λ,β)由引理1定义，且是满足式(10)的最佳常数因子.

证明根据Hölder不等式,得:

(11)

其中，

根据引理1，得:

(12)

及

(13)

把式(12)和式(13)代入式(11),得：

(14)

若式(14)中等号成立，则必有不全为零的实数A与B，满足[16]

即

Axp(1-β)fp(x)=Byq(1-ηβ)gq(y)a.e.于+×+.

那么有常数C，使得

Axp(1-β)fp(x)=C,a.e.于+,

且

Byq(1-ηβ)gq(y)=C,a.e.于+.

不妨假设A≠0,则

这与f∈Lp,μ(+)矛盾.故式(14)不取等.

下面证明式(10)中的常数因子是最佳值.

事实上，如果此常数因子不是最佳值，一定存在实数0

(15)

(16)

把式(9)的结果代入式(16),并令n→，则k≥C(a,b,λ,β),显然矛盾.故式(10)中的常数因子是最佳值．

定理1证毕.

在定理1中，令η=1，λ=1，则有:

推论1 设b>a>0,β>-1,μ(x)=xp(1-β)-1,f(x),g(x)≥0,且f∈Lp,μ(+),g∈Lq,μ(+),则

(17)

其中,

是满足式(17)的最佳常数因子.另外,若令η=-1,λ=1,则可得到一个类似的齐次核的Hilbert型不等式.

3 结 论

通过引入多个参量，借助经典分析技巧，建立了一个关联指数函数核的Hilbert型积分不等式.从研究内容上看，文中所建立的结果是前人已有成果的一个补充.从研究方法上看，文中统一了齐次核与非齐次核的构造.这些均具有一定的创新价值.