方轮之外

杨 洁， 杨梦华， 邓香辉， 邱为钢

(1.湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000； 2.湖州师范学院求真学院， 浙江 湖州 313000)

0 引 言

在水平地面上平稳行驶的车轮形状是圆形的，这是个很普通的现象，很少有人追问下去.但科学家是一群天性好奇的人，他们会追问：轮子一定是圆形的吗？有正方形的轮子吗，这种形状的轮子在什么样的轨道上才能平稳行驶？能否找到统一的处理方法，一般性地解决车轮和轨道形状的问题？文献[1]、[2]找到了方轮问题的答案；文献[3]找到了一般性的解决方案；文献[4]发现，对正方形轮子周期性双曲余弦函数轨道，还有3重和5重等多重对称性轮子能做纯滚动，且能保持车轮轴心(质心)高度不变.当然，这些轮子的尺寸大小是不一样的，重数越多，车轮的尺寸越大.不过他们的处理方法都是在直角坐标下展开的，表达式较长，不太简洁美观.因此转动过程中出现的转动角不能自如地展示应有的角色.我们发现[5]，如以转动角为参数，车轮和轨道的参数方程就能很方便地推导出来，也能很简单地得到与文献[4]同样的结果.

1 理论框架

1.1 形状函数与耦合方程

为整体性考虑，先简要介绍文献[5]的结论.

设起始时刻车轮的质心与地面参考系的原点重合，也与轴心重合.取质心参考系为坐标原点在车轮质心且与车轮相连的转动坐标系.在此质心参考系中，车轮上一点的坐标为(x',y'),经过时间t，质心运动到(xc,yc)，同时车轮绕质心转动θ角度.在地面参考系中，车轮上的这点坐标为：

(1)

设时刻t，(1)式表示的点是车轮与轨道的接触点，即地面参考系中坐标(x,y)满足轨道曲线方程F(x,y)=0，质心参考系中坐标(x',y')满足车轮曲线方程G(x',y')=0.纯滚动要求车轮上的这点相对地面的速度为零，即

(2)

因为车轮质心纵坐标保持不变，所以(2)式第二行为：

dθ/dt(cosθx'+sinθy')=0.

(3)

角速度一般不为零，(3)式有解：

cosθx'+sinθy'=0.

(4)

(4)式有以下形式的参数方程解：

x'=f(θ)sinθ,y'=-f(θ)cosθ，

(5)

其中：f(θ)为形状函数.把(5)式代入车轮曲线方程G(x',y')=0，就能确定形状函数的具体表达式.

另外，(2)式的第一行可以化解为：

dxc=dθ(sinθx'-cosθy').

(6)

把(5)式代入(6)式，积分得到质心横坐标xc与转动角θ的表达式：

(7)

把(5)式和(7)式代入(1)式，计算得到轨道上接触点的表达式：

x=F(θ),y=-f(θ).

(8)

(8)式就是地面轨道曲线的参数方程.以形状函数f(θ)为联系，车轮形状参数方程(5)式与轨道形状参数方程(8)式形成一对耦合方程.为保证车轮能在周期性轨道上转l次，形状函数f(θ)必须是周期性函数，且满足：

f(θ)=f(θ+2π/l).

(9)

此时，车轮形状具有l重对称性，并称2π/l为转动角的周期.

1.2 多重对称性车轮

如果(8)式表示的轨道上还存在其他多重对称性车轮，那么轨道形状是不变的，车轮大小是变化的.平移并不改变轨道的形状，要求新的车轮质心还是在横坐标轴上移动，那么把(8)式对应的轨道整体向下平移一个距离c,得到新的表达式：

x=F(θ),y=-f(θ)-c.

(10)

平移后的新轨道参数方程(10)式中θ是参数角，不是物理上的转动角.设平移后新轨道对应的新车轮形状函数为g(φ).这里的参数角φ才是物理上的转动角.由(8)式，新轨道曲线为：

(11)

在一个周期的转动角范围内，(10)式和(11)式是完全一样的.所以

y=-g(φ)=-f(θ)-c.

(12)

dx=g(φ)dφ=f(θ)dθ.

(13)

由(12)式和(13)式可以得到新轨道上新车轮转动角φ与旧轨道参数角θ的关系式：

(14)

如果要求新的车轮具有k重对称性，即参数角θ转到2π/l，转动角φ转过2π/k，那么轨道竖直平移距离clk必须满足以下等式：

(15)

可见，(15)式比文献[4]中的(10)式、(11)式简洁得多，且容易求解.虽然轨道平移距离可能有解析表达式，但对于数学软件来说，解析解和数值解的效果是一样的，有时数值解反而更易处理，所以本文统一采用数值解.当解得轨道平移距离clk数值后，反代回(5)式，仍以θ为参数，新轨道上k重对称性车轮的形状参数方程为：

(16)

分析表明，如果原来的多重对称性车轮外接一个半径为r的圆，则顶点处的内角为Φl.那么新的多重对称性车轮有两个特点：顶点处的内角不变；新的外界圆半径为r+ckl.

2 正方形轮

以方轮为例，设正方形的外接圆半径为1，起始时刻一个顶点在最下方，则方轮一个边界的方程为：

x'-y'=1.

(17)

把(5)式代入(17)式,得到方轮的形状函数为：

(18)

转动角的周期为π/2，即方轮具有4重对称性.把(18)式代入(8)式,计算得到的一个周期内轨道参数方程为：

(19)

消去参数θ，在直角坐标系中的(19)式可以转化为双曲余弦函数.当转动角超过π/2时，轨道形状由(19)式周期延申而成.所以正方形车轮对应的是周期性双曲余弦函数轨道.

把(18)式代入(15)式，数值求得的3重和5重对称性车轮平移参数为：c43=-0.195 741；c45=0.196 730.由数学软件得到方轮轨道上可以平稳滚动的3、4、5重对称性车轮，见图1.

3 正五边形轮

设正五边形的外接圆半径为1，起始位置的一个顶点在最下方，则五边形轮其中的一段边界曲线方程为：

cos(3π/10)x'-sin(3π/10)y'=sin(3π/10).

(20)

把(20)式代入(5)式，计算得到的正五边形轮形状函数为：

(21)

转动角周期为2π/5，即五边形轮具有5重对称性.把(21)式代入(8)式，计算得到的轨道参数方程为：

(22)

这个轨道同样也是周期性双曲余弦函数形.把(22)式代入(15)式，数值求得的4重和6重对称性车轮平移参数为c54=-0.172 801，c56=0.173 070.由数学软件得到的正五边形车轮轨道上4、5、6重对称性车轮见图2.

其他正多边形车轮、椭圆车轮和星形车轮及相应轨道，可以仿照上述例子计算得到.本研究制作的方轮轨道上的实际车轮模型见图3.

4 结 论

文献[4]以直角坐标系中的横坐标x为基本变量，把纵坐标y和转动角θ表示为横坐标x的函数.本文以转动角θ为基本变量，把直角坐标系中的x和y表示为转动角θ的函数.相对文献[4]的方法，本文所采用的转动参数角方法物理意义明显，容易转化为数学程序处理.我们用此方法得到了方轮轨道和正五边形轮轨道上系列多重对称车轮滚动的动画模拟和实际模型，且很方便地推广到一般性的多重对称性车轮.有兴趣的读者可以利用此方法制作更多有趣的不同形状的车轮和轨道，为科技馆和电视科普所用.