从实验操作之“桥”到推理论证之“根”

段晓霞

【摘要】  数学是一门操作性、逻辑性很强的学科，对于初学几何证明的学生而言，需要在思维的形象性与数学知识的抽象性之间架起一座桥梁，而实验操作正是这样一座从具体到抽象之间的桥梁。通过实验操作寻求获得定理推理认证的思路，可以有效地发展学生的数学抽象与逻辑推理能力，落实数学核心素养。

【关键词】  定理 操作 证明

【中图分类号】  G633.6                      【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2020）18-074-02

传统的数学课堂中，对于几何定理的教学往往存在重结果而轻过程的现象，但是数学是思维的体操，数学课堂不仅要传授知识，帮助学生积累数学活动经验、发展数学思维能力也是数学教学的重要目标.数学活动经验需要在“操作”和“思考”的过程中积累，本文以北师大版八年级上册《三角形内角和定理》为例，談谈如何通过实验操作，由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，进行几何定理证明的教学。

数学知识的教学，要注重知识的生长点与延伸点。三角形内角和定理是三角形中最为基础的知识，其内容是学生小学时即非常熟悉的，但也是学生第一次正式进行几何定理的证明。因此这个内容看似简单，但如果处理不好，会导致学生产生厌烦的心理。本节课可以通过折纸与剪纸等操作出发，让学生获得直接经验，然后从直接经验逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的目的。由此引导学生感受数学的整体性，体会对于同一数学知识可以从不同的层次进行理解。

一、实践操作，猜测结论

小学时，学生已经知道了三角形的内角和是180°，七年级又通过活动再次验证了这一结论，但测量也好，剪拼实践操作也罢，都不可避免地存在一定的误差，要说明这个结论的正确性，测量也好，实践剪拼也罢，都会不可避免地存在一定的误差。严格地说，三角形的内角和是180°目前还只是我们的一个猜想，要说明这个猜想的正确性，还需要严格的证明，即不仅要知其然，还要知其所以然，要从“是什么”，升级到“为什么”。

首先让学生回忆，在我们学习过的知识中，还有哪些地方出现过180°？

学生会想到：平角、两直线平行同旁内角互补。但是三角形的三个角是彼此分散的，怎样才能把它们“凑”成一个平角或者是平行线被截所形成的同旁内角呢？《课程标准》指出：“教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能.”因此，教师可以让学生运用撕纸的方法，引导学生从拼图中寻找灵感。

对于这个定理，小学的时候教师就让学生进行了拼接，到了初中还是拼接，其中有什么不同吗？其实，这个区别是根本性的：小学的拼接仅限于发现定理的结论，而初中还要发现定理证明的思路。而实际上，如果仅用一个三角形纸片进行拼图，学生是无法获取证明的思路的。因此，在本节课前，我让学生提前准备两个重合的三角形纸片，撕下其中一个三角形的内角，把三角形的三个角拼成180°，小组交流不同的拼法，然后以小组为单位，展示拼图作品。在学生操作的过程中，教师巡视，选取有代表性的拼法贴在黑板上。这样，多数学生会拼成如图所示的图形1、2、3，也有个别会动脑筋的同学会拼成图4.

拼图活动不是为了一时热闹，其目的是让学生通过操作活动获取证明的思路。怎么找到定理的证明方法呢？以上图形中，除图3外，其余三图中不仅具有定理结论的发现情景——平角或同旁内角，又具有结论证明的发现情境——相等的同位角或内错角、互补的同旁内角，把这些情况都弄清了，定理的多种证法及其联系也就清楚了。因此，拼图活动的开展是本节课成功的基础。

二、操作转化，证明定理

拼图可以直观地感受、猜想三角形的内角和是180°，七年级时学生运用撕纸和简单说理说明了这一结论，而本节课是要对其进行规范的证明，并让学生初步感受当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为自己已经会解决的情况，体会转化思想是数学学习的重要思想。

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，所以添加辅助线找到多种证明方法是本节课的难点。如果老师直接给出辅助线的作法，那么前面的活动也就失去了其意义。这里老师可以结合图1，引导学生把实物图抽象成几何图形，并提出问题串：这里的∠1的边AD和BC有什么位置关系？AE和BC呢？AD和AE在同一条直线上吗？为什么？你能从上面的结论中得到启发，直接作一条线，把∠B、∠C同时移到点A处吗？

回顾刚才的活动，学生容易发现我们是通过撕纸把∠B、∠C分别移到∠1、∠2的位置，即∠1、∠2分别等于∠B、∠C，那么AD、AE都平行于BC.根据平行线的存在性与唯一性，可知AD和AE在同一条直线上，我们只需过点A作BC的平行线，就可以构造出∠B、∠C的内错角，相当于把它们移上来;这条线是题目中没有的，是我们为了证明的需要找的一个搬运工，从而介绍辅助线的名称及画法，这样辅助线的添法就顺理成章，自然地突破了难点。

三、操作探究，训练思维

在顺利得到定理的证明方法之后，教师可以趁热打铁：观察其他拼图，还有哪些拼图中能出现我们所需要的平行线？有了前面的基础，学生不难发现图2和图4中的相等的内错角、同位角等，从而通过添加平行线来证明定理。教师可以让不同的学生上来展示，通过操作探究，也就是一题多解，让学生初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中，达到渗透数学的转化思想及训练学生思维多样性的目的。

四、操作体验，初见成效

初中生思维活跃、求知欲强，有了一定的数学学习能力，用教师引导下的自主探索的教学方式，给他们充分的实践与思考的时间、空间，可以让他们体会思维的多向性，获得更高层次的成功感。

有这样一道课后练习题：如图，已知∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，那么∠1、∠2、∠3的和是多少度？

这个题相信大家都很熟悉，在解答时一般是两种方法：运用平角或者运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，结合三角形的内角和定理求解。但是这一次，有好几个同学提出：上节课我们在学习三角形的内角和定理时，不是通过作平行线，把三个角移到了一起、构成平角吗？同样的，这里要说明这三个角的和是360°，所以我们可以把它们三个角凑成一个周角。

法1：如图5，过点A作EF∥BC，则∠EAB=∠ABC，∠DAE=∠ACB，所以∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠2+∠ACB+∠3=180°+180°=360°.

法2：如图6，过点A作AF∥BC，则∠2=∠BAF，∠3=∠DAF所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠BAF+∠DAF=360°.

教学这么多年，不要说从来没有学生提出过用这种方法来说明三角形的外角和为360°，就连我自己我从来也没有想到过。如果这次不是因为让学生真正经历动手操作、观察图形、找到证明方法的过程，我想学生也不会有这么多的想法。反思我的教学：平时是不是太过于注重知识的传授，而忽略了学生的操作、探究的过程呢？

“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学是思维的体操，而有了学生积极参与和高效交互的活动，让几何定理的教学不再枯燥乏味，使教学不仅仅只是体现一个认知、探究、交流、决策的过程，同时能有效地发展学生的数学思维与逻辑推理的能力。

[ 参  考  文  献 ]

[1]教育部《数学课程标准》[M].北京师范大学出版社，2011.

[2]董江垂.“没有结束语”的潜台词《中学数学教学参考》[J].西安：中学数学教学参考杂志社，2000.05.