美国MIC数学教材统计与概率内容编写特点及其启示

王建波

(北京师范大学出版社 100875)

Mathematics in Context(情境数学，以下简称MIC)是一门综合性的中学数学课程，主要供6-8年级学生使用，由大英百科全书出版社(Encyclopdia Britannica Inc)出版.课程的开发由美国国家科学基金会(NSF)资助，该项目的教育学和数学内容符合全美数学教师协会(NCTM)出版的“学校数学原理和标准”.MIC内容按照以下四个内容领域展开：数、代数、几何与测量、数据分析与概率，由27个学习单元组成.全部学习单元分三个水平，每个水平9个单元，每个单元1册教材.

连接是MIC的关键特征——不同内容领域之间的相互连接，数学与其他学科的连接，以及与现实世界中有意义的问题进行连接.MIC中丰富的数学是围绕现实情境展开的，而情境既是连接教材与现实生活的纽带，更是数学学习的出发点.统计与概率内容在数学课程中越来越受到重视，很多国家都将统计与概率内容列为初中数学课程的重要组成部分[1].作为与现实生活密切关联的统计与概率内容，MIC教材的设计更是突出体现了其主要特色，在内容设置、呈现方式及编写特点等方面很值得我们进行思考和借鉴.

1 MIC教材统计与概率内容设置及呈现方式

1.1 内容设置

MIC教材的数据分析与概率内容领域共有6个学习单元、28节.其中，统计内容共有3个单元、15节，主要包括以下几个方面的内容：统计图(条形图、堆积条形图、数线图、点图、扇形图、象形图、折线图、散点图、茎叶图、直方图、箱形图、箱线、数据点、集群数据、异常值、统计图的误导、三维图)；统计量(平均数、众数、极差、中位数、最小值、第一四分位数、第三四分位数、最大值)；抽样(调查、随机、样本、总体、有偏、模拟、随机数)；相关与回归(因果关系、斜率)等.概率内容共有2个单元、8节，主要包括以下内容：机会、公平、树形图、排列、频率、实验概率、理论概率、双向表、复合事件、机会树、面积模型等.最后1个单元“伟大的预测”是统计与概率内容的综合，共5节，主要包括以下内容：独立、有关联、期望值、乘法法则等，并将统计与概率的相关内容做了进一步阐述.

MIC教材的统计与概率内容涉及面比较广，具体单元及节内容的设置见表1.

表1 MIC教材统计与概率内容设置

续表

续表

MIC教材的数据分析与概率内容领域共6个学习单元，分为两个子领域：数据分析和概率.其中聚焦数据分析的三个单元分别是“绘制数字”“处理数据”“洞察数据”，聚焦概率的两个单元是“抓住机会”和“第二次机会”.第六个单元“伟大的预测”则整合了两个子领域的内容，是数据分析与概率内容领域的综合(如图1所示).

图1

从MIC教材不同内容领域和水平的学习单元情况进行统计，得到的分布结果见表2.从表2可以看出：MIC教材共有27个学习单元，其中数、代数、几何与测量、数据分析与概率四个内容领域包含的学习单元数量分别为6个、8个、7个和6个.数据分析与概率单元占全套书总单元的比重为22.22%.

表2 MIC教材不同内容领域和水平学习单元分布

1.2 呈现方式

MIC教材统计与概率内容的栏目设置和教材体例很有特色，具体呈现方式见表3.

从表3可以看出：MIC教材统计与概率内容按照不同学习单元展开，每个单元设置若干小节的内容.单元前设置单元主题图、单元目录、给学生的一封信(包括学习重点及学习引导)，单元末设置附加练习、各小节自我评价的答案.

表3 MIC教材统计与概率内容呈现方式

节内容(表1中的A，B，C,…)是MIC教材的核心部分，教材突出“统计概率与现实世界的连接，通过数据分析解决实际问题”，以此为线索展开相关内容的学习.每节聚焦若干内容主题，通常每个内容主题都会以实际问题为背景，通过“问题情境+问题串”的方式引出要学习的相关内容，激发学生的学习兴趣并引发学生进行思考，通过学生的活动、思考与讨论，逐步掌握统计与概率的知识和方法.每节内容的最后都有小结和自我评价：小结部分主要是梳理本小节的重点，形成本节知识内容的结构；自我评价部分则是通过题目的形式帮助学生巩固本节所学习的内容，进一步思考统计与概率的思想，并解决相关的实际问题.

此外，每个单元内都还设置有“数学历史”栏目，既有对数学家的介绍，也有对统计与概率内容及相关背景的拓展和延伸，帮助学生更好地了解数学文化、理解统计与概率的价值.

2 MIC教材统计与概率内容编写特点

2.1 生活化的标题贯穿教材始终

现实情境为学生学习、理解和应用数学提供了丰富多彩的载体和途径，吸引、激励学生参与数学学习，并为学生的可持续发展提供了保障.从表1 MIC教材统计与概率内容的目录就可以看出，生活化的标题几乎贯穿所有学习单元，并且通过现实情境将统计概率内容与现实生活进行连接.首先，单元标题“绘制数字”“处理数据”“洞察数据”“抓住机会”“第二次机会”及“伟大的预测”大致体现了教材统计与概率内容学习的基本线索.其次，节标题及下属的内容主题标题与丰富的现实情境紧密联系，如“使用条形图”一节中的“传单”和“玻璃弹珠”，通过统计发放传单的数量和学生拥有玻璃弹珠的数量情况，引出条形统计图的学习；又如“做出选择”一节中的“班级旅行”和“家庭”，学习用树形图来计算班级科学旅行的所有方案及家庭男孩女孩的可能情况；再如“可能存在联系”一节中的“驱蚊剂”和“眼镜”，通过讨论“使用驱蚊剂是否能防止蚊虫叮咬”和“戴眼镜与性别是否有关联”，进入独立性检验内容的学习.这种生活化的标题在教材中的处理是一以贯之的，通过标题学生很容易看出相关的学习内容是如何与具体的情境进行连接，突出了统计概率与现实生活的密切联系.

2.2 重要的内容与思想螺旋上升

对于一些重要的数学内容和思想，学生通常很难直接一步到位建立起深入全面的理解，往往是从非正式的概念开始，在此基础上不断建立更正式的想法.MIC教材为学生提供了循序渐进的学习机会，让他们从直观、非正式的知识开始，逐步进行更深入、更正式的意义理解.而这种渐进式的处理也是MIC教材“连接”这一关键特征的重要体现.其中渗透的基本理念是，学生对重要内容与思想的理解需要经历发展的过程，不可能在短时间内完成，在不同学习阶段可以基于学生已有的非正式的概念和认知，通过与相关内容的连接，不断深化理解水平并完善认知结构.因此，MIC教材对统计与概率重要内容和思想的处理，往往渗透在不同的学习单元，让学生经历螺旋上升的学习过程，目的是尽可能以对学生有意义的方式实现学习目标.

就统计内容而言，学生对数据分析观念的理解需要经历从直觉开始不断深入的过程.如教材对散点图的处理，在“处理数据”单元第2节“散点图”中，教材首次出现散点图，直观地描述父子身高数据之间的关系，引导学生观察数据的特征；在“洞察数据”第1节“数据中的模式”中，通过散点图发现各州的人均收入与各州城市人口百分比之间存在的关系，并进一步发现其中的规律和趋势.随着学生对数据之间的关系理解的不断加深，在直观了解的基础上，他们开始有意识尝试使用策略去表示这种关系.在“洞察数据”第5节“有关联的数据”和第6节“用线概括数据”中，教材通过“新生儿的身高与头围之间的关系”介绍了强相关、弱相关、不相关和正相关、负相关等内容，以及相关关系与因果关系的差别，介绍了用线概括数据的方法，根据不同情况分别用直线(鸟蛋的长度和宽度)和曲线拟合数据(蓝鳃鱼年初长度和年末长度)，并进行预测.学生经历了从直观、非正式认识散点图，从观察数据特征，到发现数据规律，再到使用正式的规则来表达数据趋势，获得数据拟合方法，并得到了直线及曲线拟合的度量.这一过程帮助学生更深入理解数据之间的关系以及如何刻画数据之间的关系.

2.3 基于问题解决开展探究活动

MIC教材设计以学生的探究为主线，创设真实合理的学习情境，提出面向不同学生的问题与问题串，设计灵活多样的探究活动，给学生探索留有足够的空间.学生成为学习的主体，学习过程成为思考与交流、质疑与反思、发现与创造的过程.教材基于问题解决开展探究活动，并在解决问题的过程中促进学生对相应学习内容的深度理解.

MIC教材将真实情境下的问题解决与探究活动的开展进行了结合.教材内容的呈现一般都是以具体情境为引入，并且注重将问题解决融入到单元的整体设计之中.如“处理数据”单元，教材提出“孩子是否会比父母长得更高”这一问题，将皮尔森和李的1064对父子身高真实情境贯穿整个单元内容.通过各节的问题提出、思考、探究，学生学习了样本、总体、散点图、点图、众数、茎叶图、直方图、平均数、极差、中位数、箱形图等统计内容.在第4节“再探父亲和儿子”学习主题中，通过计算父亲和儿子身高的平均数，尝试解决单元开始提出的问题；在第5节最后一个内容主题回到“1064对父子的身高数据”，通过比较父子身高的箱形图，进一步回答并解决单元提出的问题.教材以解决“孩子是否会比父母长得更高”这一问题为该单元内容的主线，在不同的学习内容中设计了各种探究活动，让学生通过探究不断从不同角度思考并进行问题解决.在此过程中，学生不仅掌握了统计与概率的知识方法，同时更好地理解了相关的基本思想.

2.4 注重领域内部之间的连接

MIC教材在强调数学与其他学科和现实世界的连接，以及不同数学内容领域之间的相互连接外，还注重在数据分析与概率内容领域内部之间的连接.教材“伟大的预测”单元整合了数据分析与概率两个子领域的内容，进一步学习从样本数据中进行推断与解释，加深对随机性、样本大小和偏差等关键统计概念的理解；运用树形图、双向表、机会树、面积模型等已学内容对理论概率进行分析，加深对概率意义的理解；还专门学习了期望等概念及其在现实情境中的应用，探索期望值如何帮助做出合理的预测.作为数据分析和概率领域的最后一个单元，“伟大的预测”是整个领域概念与方法的综合，很好地体现了统计与概率之间的连接.

此外，MIC教材还特别突出了对于不同知识内容之间的连接，如统计图和统计量之间的连接，让学生更好地发展数据分析意识.统计图与统计量之间的内在联系在“处理数据”单元体现尤为突出.第3节“茎叶图和直方图”中，教材首先通过统计表呈现了美国各届总统就职时的年龄，并给出了用点图表示数据的方式，结合具体的点图，通过统计图让学生进一步理解众数的涵义——出现次数最多的数.第4节“直方图和平均数”中，教材给出父亲身高直方图及总统就职年龄直方图，让学生从图中估计各自的平均数分别位于直方图的哪个区间内，明确平均数可以用来概括一组数据的中心，并通过与直方图的关联进一步加深对平均数意义的理解.第5节“箱形图与中位数”中，教材先是给出了美国各州加入联邦的时间列表，并用点图进行了表示，在此基础上直观引出了中位数的概念——将50个州加入联邦的时间分成两个相同部分的年份.进一步，将数据分成四个相同的部分，从而得到箱形图的概念.这样的设计不仅将箱形图和中位数的概念有机地进行了结合，而且展现了箱形图的形成过程.MIC教材通过对“点图和众数”“直方图和平均数”“箱形图和中位数”的处理，更好地体现了统计图与统计量之间的内在联系，让学生经历了统计图与统计量的形成过程，也更有利于学生对数据的整体理解与把握.

3 对我国课程教材建设的启示

MIC教材的统计与概率内容设置、呈现方式及编写特点，可以从以下几个方面对我国课程教材建设带来启示.

3.1 适当增加一些统计与概率内容

我国北师大版初中数学教材[2]统计与概率内容及全套书内容章数分别为4章(统计与概率内容各2章)、34章，统计与概率内容占全书的比重为11.76%；人教版初中数学教材[3]统计与概率内容及全套书内容章数分别为3章(统计内容2章概率内容1章)、29章，统计与概率内容占全书的比重为10.34%.从表2我们已经知道，MIC教材数据分析与概率单元占全套书总单元的比重为22.22%.可以看出，MIC教材数据分析与概率内容占全书的比重远远高出我国两个版本教材，也足以见其对统计与概率内容的重视.对中英美3个国家数学课程标准中内容分布的比较研究显示，美国和中国“统计与概率”内容在初中数学课程内容中所占的百分比分别为20.99%和7.33%[4]，这与上述中美两国初中数学教材中统计与概率内容所占百分比的差异是相符的.从教材所含知识点情况来看，MIC教材统计与概率内容涉及面非常广，以统计图为例，MIC教材涉及的统计图包含：条形图、堆积条形图、数线图、点图、扇形图、象形图、折线图、散点图、茎叶图、直方图、箱形图、箱线、统计图的误导、三维图.而我国初中统计教材中的统计图主要涉及：条形图、折线图、扇形图、频数直方图.

建议适当增加我国初中数学课程中统计与概率内容的比重，以统计图为例，加入MIC教材中的数线图、点图、茎叶图、箱形图等内容，使学生在初中阶段有机会了解更多有价值的知识与方法.

3.2 加强统计概率与现实的联系及应用

MIC教材的现实情境丰富多样，注重统计概率与现实的联系及应用.既有贴近学生校园及家庭生活的情境，如学生书包的重量、衣服裤子鞋的不同搭配方式、到校选择的交通方式、老师头的长度、人们选择的度假方式、最喜欢的体育运动及饮料等；也有激发学生兴趣的丰富情境，如沙滩边的藏宝棋盘、钢琴家的手掌跨距、通过频率分析破译密码、豆芽实验、蓝鳃鱼年初和年末长度、蜉蝣的预期寿命等；还有与国家历史文化相关的情境，如美国各届总统就职时的年龄、美国各州加入联邦的时间、美国人口普查等.MIC教材的现实情境充分体现了统计概率与现实的联系及应用的广泛性，有利于培养学生的应用意识.

我国教材统计与概率内容过于关注与学生的学习生活之间的联系，涉及的面相对较窄.建议借鉴MIC教材的方式，注重现实情境的多样性，在素材的选取上加强与科学、历史、文化等之间的联系，充分激发学生的学习兴趣，帮助他们在丰富多彩的情境中提升运用统计与概率解决问题的能力.

3.3 优化对统计与概率活动的设计

MIC教材设计了大量“活动”栏目，教材对于活动的设计主要有两种不同的形式.一类形式的活动直接以小节下面的内容主题形式呈现，如“抓住机会”单元第4节“让我数数”中，“活动：加起来”即是一个内容主题，学生玩掷骰子的游戏——投掷两个数字立方体，探究掷出数字之和的可能性大小.整个内容主题就是通过活动的方式展开，让学生在游戏中不断感受可能性，并最终解决如何在游戏中能有更高的胜算.另一类形式的活动更为普遍，安排在内容主题之下，与具体学习内容进行进行整合.学生通过探究与问题解决，更好地掌握统计与概率的知识方法，理解相关的基本思想.

我国北师大版教材、人教版教材的统计与概率“活动”栏目是与初中阶段“综合与实践”内容领域整体进行设计的，呈现形式多安排在统计概率内容章末或是全书的最后，但活动的数量相对比较少[5].建议适当增加活动的数量，创新活动呈现形式，将活动的开展和统计概率内容的学习进行更有效的整合，并融入到应用相关内容解决问题的过程之中，使活动经验的积累和知识方法的掌握相互促进.

3.4 突出统计与概率内容的整体设计

MIC教材中的数据分析与概率单元强调数据的处理、发展对概率的理解，基于数据的分析和推断渗透在所有的单元内容中，以此加强数据分析与概率之间的联系.

一方面，建议我国教材借鉴MIC教材的处理方式，突出统计图和统计量之间的内在联系.统计是通过数据进行推断的，研究的基础是数据.而统计图表和统计量可以帮助我们进行数据的整理、描述和分析，以便从数据中获取更多有价值的信息.MIC教材呈现了多种描述数据整体分布的统计图，如数线图、点图、茎叶图、直方图、箱形图等，同时还在这些统计图中融入了平均数、中位数、众数等统计量的内容，这样的整体设计有助于学生从整体上把握数据的特征.另一方面，建议在我国初中阶段课程中增加期望的内容，突出统计与概率内容的整体设计.期望是随机变量按概率的加权平均，是简单算术平均的一种推广[6].由于期望反映了随机变量的重要信息，在具体问题中有非常明确的含义，在教材中可以借助期望的相关思想和素材，设计统计与概率的综合内容，帮助学生理解数据随机性，加深对概率意义的理解，从而更好地理解统计与概率的思想，并切实感受它们在生活中的广泛应用.