两道一类不等式题的教学所引发的思考

叶德武

摘要：创新思维的核心思想是联想和想象，在数学教学中，“问题是数学的心脏”，对某些结论的拓宽和推广是培养数学思维素质中联想和想象的最有效方法之一。

关键词：主体;不等式;换元法;公式法;构造法

教学过程，是教与学的统一过程，学生是学习的主体，而学生的学习又是在老师组织引导下进行的，因此教是外因。我们知道内因是依据，外因是条件。外因必须通过内因才能起作用。因此，正确处理教与学的关系，是提高教学质量的关键。

课堂教学中，教师的主导和学生的主体作用主要体现在教师如何通过自己的教学，激发学生学习的自觉性和积极性，如何去引导学生主动去观察、思考、联想、探索，通过他们自己的努力去获取知识，使他们不但学会知识，而且懂得如何去学，这是发挥教师的主导作用和学生主体地位的根本所在。

文章就两道一类不等式的解题教学来展示和记述在上述理念指导下如何提高学生思维能力和改进数学课堂的教学。不等式的证明和求解，在高中课程占了很大比例，尤其是将各个章节知识的串联、并联，结成知识网络起到了很大作用，又能充分训练学生的思维。

一、 问题教学

问题1：已知a>0，b>0且a+b=1，求证：2a+1+2b+1≤22。

问题2：已知a>0，b>0，c>0且a+b+c=1，求证：3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：对于问题1来说，两式2a+1、2b+1之和小于或等于22，那么又如何利用a+b=1？

S：那，可不可以看成一个整体，不妨设2a+1+2b+1=k。

T：那如何各自表示2a+1、2b+1单个主体？

S：可用近期刚讲过的均值换元。

T：可以呀，在均值12k的基础上再加减一个数，注意两式之和为k。

（一）换元法

1. 设2a+1+2b+1=k，2a+1=12k+t2，2b+1=12k+t2，则t1+t2=0，则有2a+1+2b+1=12k+t12+12k+t22=12k2+t21+t22≥12k2。

又因为a+b=1，所以4≥12k2，即k≤22，故2a+1+2b+1≤22。

T：问题2与问题1之间有何联系？

S：类似噢，同样可令3a+1+3b+1+3c+1=k，这样每一个表达式为13k基础上再加减一个数。

T：很好！

2. 设3a+1+3b+1+3c+1=k，3a+1=13k+t1，3b+1=13k+t2，3c+1=13k+t3，且t1+t2+t3=0，以后证法与上面相同，故略。

T：我们再回到常见的几个不等式之间关系：ab≤a+b2≤a2+b22，a≥0，b≥0，当且仅当a=b时取“=”，题目中出现了2a+1、2b+1，自然想到上式的后一个不等式，即a+b≤2（a2+b2），大家想一下如何用公式法？

S：把2a+1、2b+1看成（2）中左边的a与b。

T：很好！

（二）公式法

ab≤12（a2+b2）（当且仅当a=b时取等号）

1. 当且仅当2a+1=2b+1=2时等号成立。

因为2·2a+1≤12（2+2a+1）=12（3+2a），

2·2b+1≤12（2+2b+1）=12（3+2b）。

将上述两式相加，得

2（2a+1+2b+1）≤12（6+2a+2b）=4。

所以2a+1+2b+1≤22。

2. 当且仅当3a+1=3b+1=3c+1=2时等号成立。

因为2·3a+1≤12（2+3a+1）=12（3+3a），

2·3b+1≤12（2+3b+1）=12（3+3b），

2·3c+1≤12（2+3c+1）=12（3+3c），

所以将上述三式相加，得

2（3a+1+3b+1+3c+1）≤12（9+3a+3b+3c）=6，即3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：其实，要证2a+1+2b+1≤22，很容易想到什么？

S：两边平方。

T：这是什么方法？

S：分析法。

T：是的，即（2a+1+2b+1）2≤（22）2即4（2a+1+2b+1）2-32≤0，是否能想到Δ=b2-4ac≤0？开口向上抛物线函数值恒大于0，那想到什么方法？

S：构造函数法？

T：漂亮！你们真厉害！

（三）構造函数法

1. 构造函数f（x）=（2a+1·x-1）2+（2b+1·x-1）2

=4x2-2（2a+1+2b+1）x+2。

因为f（x）≥0，所以Δ≤0，

即4（2a+1+2b+1）2-32≤0。

所以2a+1+2b+1≤22;

2. 构造函数f（x）=（3a+1·x-1）2+（3b+1·x-1）2+（3c+1·x-1）2

=6x2-2（3a+1+3b+1+3c+1）x+3。

因为f（x）≥0，所以Δ≤0，以后证法同上，略。

T：大家已发现上述两式之间联系及共性，能否再找出一般性结论？关键注意题a，b的系数与结论中2的系数，用数字试一试！

二、 四个推论

用上述证法可以得到以下推论：