论中学数学习题课教学

王富英

(成都市龙泉驿区教育科学研究院 610100)

在数学教学中，运用知识解决数学问题叫做数学解题.学生在数学解题的过程中,不仅能促进其真正理解和掌握数学知识的意义，学会运用数学知识分析和解决问题，而且还能发展学生的逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等数学核心素养，提高数学思维能力，丰富和积累数学活动经验.因此，美国著名数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中强调指出：“中学数学教学首要任务是加强解题训练”，“掌握数学就意味着解题.”[1]20世纪70年代美国数学指导委员会也曾经提出：“学习数学的主要目的在于解题.”[2]而在中学数学教学中承担提高学生数学解题能力任务的主要课型就是习题课.

习题课对教师来说叫做“解题教学课”，对学生来说叫做“解题学习课.”习题课是教师根据学生学习内容的教学要求(《课程标准》确定的)和学生学习的需要，在课堂上所进行的以范例的研究、讲解和变式训练为主要形态的一种课型.它包括教材中的例题教学和教师根据学生的学习情况和教学需要自己选编的例题和习题进行的、以专门提高学生解题能力为主的习题教学.

长期以来，数学教学研究中对习题课教学的研究主要集中在一招一式的解题方法和一题多解、多变等研究上，而忽略对习题课本身的研究，造成的后果是中学数学教学中习题课教学缺乏必要的理论指导，致使人们对习题课的目的、任务和价值认识不清，教学的目的不明确，随意性大，从而使一些习题课教学的质量不高，进而影响了数学教学质量的提高.因此，在理论与实践上对习题课教学进行研究是一个需要认真研究的重要课题.

1 习题课的目的任务和功能

1.1 习题课的目的任务

数学习题课的主要目的是通过典型例题的解题研究、变式训练和反思总结的示范启发，巩固和深化所学知识，训练学生的数学思维，掌握解决数学问题的策略方法，形成一定的解题技能，养成认真审题和解题反思的良好解题习惯，提高学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、反思问题”的数学问题解决能力以及归纳、猜想、推理、证明的数学探究发现能力，促进学生良好的数学思维品质和关键能力的形成与发展，发展学生的数学核心素养.课题课的主要任务是进一步深化理解和巩固数学知识、形成技能，培养学生运用数学知识与方法分析问题、解决问题的能力. 因此，习题课是中学数学教学中的一种重要课型，它在数学教学中具有十分重要的地位和作用.

1.2 习题课的功能与作用

数学习题课在发展学生智力、培养学生能力方面具有重要的功能和不可替代的作用. 具体说，习题课的功能和作用主要体现在以下几个方面.

1.2.1示范与引导

波利亚指出：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学会.”[1]因此，当数学概念、公式、定理、法则等数学新知识获得后，如何运用它们解决问题，就需要通过一些例习题的讲解给学生以示范和启发，引导学生去模仿、思考、探究、表述、反思与总结.学生在这些例题的示范、启发下进行变式练习的过程中，感悟与体会数学的思想方法、积累数学活动经验，最后达成真正掌握数学知识和方法，提高数学解题能力.习题课的示范与引导主要体现在以下是三个方面：一是新知应用的示范引导；二是解题策略方法的示范引导；三是解题表述与书写格式的示范引导.

1.2.2补充与延伸

教材在讲述了一些数学的概念、公式、定理、法则等数学新知识后，往往还以例题和习题的形式补充介绍一些新的数学知识和方法，这些例、习题介绍的新的知识和方法是正文讲述的数学知识的补充和延伸，他们一起构成了数学知识完整的知识结构.如，普通高中数学教材人教版高中数学第二册(上)§8.2在讲了椭圆的简单性质后，用了5个例题分别介绍了椭圆草图的画法(例1)、利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的方法(例2)、利用椭圆几何性质解实际问题(例3)、椭圆的第二定义及其性质(例4)和椭圆的参数方程(例5).它们一起构成了椭圆完整的知识结构.而这些通过例习题补充的新知识和方法就是通过习题课(例题教学)来完成的.

1.2.3巩固与深化

数学教材在得出新的概念、命题后一般都要设置一些例题和练习题.这时的例题是利用新获得的概念和新推导出来的公式、定理和法则进行判断、推理和运算，使学生在例题的解答过程中进一步理解、消化和巩固新知，从而把刚刚学习的陈述知识向知识运用的程序性知识转化.[3]通过例习题教学及变式练习，学生可以进一步巩固数学的基础知识，形成基本技能，深化对数学概念和命题的理解与掌握，加强对数学思想方法与规律的认识与理解.通过例习题教学，提高学生运用数学知识分析问题和解决问题能力.

1.2.4补救与强化

每个数学新知识学习后，教学的效果如何？学生理解掌握的情况如何？在学生的作业中都会得到及时的反馈. 教师通过批改作业及时了解和掌握学生对新知学习的情况.对于学生理解掌握不好的内容和大多数学生存在的问题，教师应认真分析原因作出准确的判断：学生是对新学习的陈述性知识没有真正理解？程序性知识的“产生式”形态表述不清？还是解题中缺乏必要的策略性知识？还是某个知识存在缺漏？然后针对存在的问题利用习题课进行补救与强化.这种补救与强化体现在两个方面：一是在习题课中对学生缺漏的知识进行补救与强化；二是对典型错误和薄弱部分通过对错误剖析后再运用变式练习进行补救与强化.在对学生的错误进行分析时教师要指导学生进行错因分析.应该指导学生分析错在哪里？是知识有缺漏？还是计算上出错？还是逻辑表述不清?只有学生充分认识到自己错误的根源后的补救与强化才能取得好的效果.同时，教师也要反思自己的教学：是教学方法过于简单？是教学中忽略学生主动参与知识的形成过程而导致学生没有真正地理解？是教学设计时没有从学生的实际出发目标定得过高？是教学中只注意了少数学优生而忽略大多数学生？等等，并针对这些问题改进自己的教学策略方法，补救和矫正自己教学中存在的问题.

1.2.5训练思维与培养能力

杜威指出：“学校为学生所能做或需要做的一切，就是培养他们的思维能力.”[4]而 “数学是思维的体操.”数学在训练学生思维能力方面有其独特的价值与作用.在习题课教学中，通过引导学生对一些典型例习题解题方法的探索和进行解题后的反思、总结、引申、推广，进行一题多解、一题多变等探究活动，既可使学生掌握知识之间的内在联系和规律，做到解一题，带一串，通一类，提高例习题教学的效率和解题能力，还可发展学生“数学抽象”“逻辑推理”等数学核心素养，提高数学思维能力、探索发现能力与数学探究能力.

2 习题课的基本类型

根据习题课的功能与作用，数学习题课可分为以下四种基本类型：示范引导型习题课、补充延伸型习题课、补救强化型习题课和深化提高型习题课.

2.1 示范引导型习题课

示范引导型习题课主要是在新知识和方法的学习后所进行的习题课，它的主要作用通过典型例题的示范、启发，引导学生对新知识和方法的理解与运用，掌握和规范一般解题步骤与表达方式.

2.2 补充延伸型习题课

2.3 补救强化型习题课

这主要是教师在批改学生的作业中发现学生存在的典型错误和知识缺漏而采取的专门进行以矫正错误和弥补知识缺漏为目的的习题课.

2.4 深化提高型习题课

这是指在一个单元、章节、期末复习或高考、中考数学复习时，深化和提高学生的数学知识技能和数学关键能力的习题课.这时的深化提高包括对数学知识理解的深化提高、数学运算与逻辑推理能力的深化提高、数学抽象与数学建模能力的深化提高、解题策略与方法的深化提高，等.

以上四种不同类型的习题课有着各自不同的功能，它们在数学教学和学生的数学学习中各自发挥着不同的作用.教学中我们要充分发挥和利用好四种习题课的作用，发展学生的数学核心素养以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力，进而提高数学教学质量.

3 习题课中例习题选配的原则

例题和习题是习题课中教与学的主要依据和材料，例习题选配的好坏直接影响着习题课教学质量的高低，因此，习题课中例习题的选配是习题课教学的关键.为了提高习题课例习题选配的质量，在进行例习题选配时应遵循以下原则.

3.1 目的性与针对性原则

这一原则是指在教学中要针对不同的教学目的和学生的实际进行例习题的选配. 例如，为了加深对新学知识的理解和巩固，则要选取一些直接运用新知的例习题；为了介绍新的解决问题的方法则要选择体现解题方法的例习题；为了弥补知识缺漏则要选择所缺漏知识的例习题；为了使学生掌握一类问题的解题规律则要选择背后隐含这类解题规律的例习题；为了培养学生数学思维品质则要选择解题方法灵活多样和具有深入探究并能推广到一般的探究性例习题；为了培养学生综合运用知识分析和解决问题能力则要选择具有一定综合性的例习题，等等.

在习题教学中，对例习题选择除了根据不同目的外，还要根据所教学生的实际情况在学生“最近发展区”内进行习题的选择.过于简单的习题则不能激发学生的兴趣，起不到训练学生的思维品质和提高思维能力的作用；难度过大的习题则易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心.所以，例习题的选择除了要针对不同的教学目标还要针对学生的实际情况，切实把握好“度” .

3. 2 典型性与精要性原则

这一原则主要是指习题课中例题的选择和配备要具有典型性和研究性.所谓典型性，是指所选择的例题要能代表某一类问题或隐含某种数学思想方法和解题规律.所谓精要性是指选择的例题要精炼，要做到少、精、活、度.[5]“少”指一节课所选例题不宜太多，一般以2～3个为宜.教学中把2～3个例题研究透彻后再进行变式练习，往往胜过众多例题的讲解；“精”指所选的例题要精炼.同一个类型(包括可以变式得到)的问题就不能再次选作例题；“活”指题目的解法要灵活，不要太单一和技巧性太强.技巧性太强的题一般不宜选做例题；“度”指难度和梯度.首先，例题选取不宜太难，一般以中档题为佳；其次，几个例题之间的水平层次要有一定的梯度，但跨越不要太大.遵循这一原则，则要求教学设计要活用资料，不要照搬资料，并针对学生的实际和数学课程标准与考试说明的要求，精心挑选题目和设计.

3.3 研究性与发展性原则

这一原则是指选取的例题要具有探索研究的价值和发展学生数学核心素养的价值.因此，选择的例题要具有典型性和代表性.要选择一些能“牵一发而动全身”的例题供师生共同进行探究. 教学中，要引导学生对典型例题进行一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的研究，深入挖掘例习题背后隐藏的数学思想方法和解题规律，达到解一题，通一类，带一串，从而培养学生的数学思维能力，发展学生的数学核心素养.如，可精选一些一题多解、一题多变和可以引申推广的题目引导学生进行研究，以开阔学生思路，使学生通过例题的学习探究有新的收获、新的体会和新的提高.

又如，对于数学知识运用，习题课的例习题可尽量从学生社会生活实际并使学生感兴趣的问题中选编，让学生在解答问题的过程中，进行自主探究、合作交流，在解决问题的过程中体验数学在实际生活中的应用，积累数学活动经验，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题和反思问题的能力，从而发展学生的数学抽象、逻辑推理、数据分析和数学建模等数学核心素养.

3.4 循序渐进与优化组合原则

这一原则是指对于选择好的例习题进行编排时要统筹安排优化组合，由浅入深、循序渐进，使学生能拾级而上，逐步提高；要使整个例习题构成一个具有良好思维训练与能力提高的训练单位，从而更好地发挥例习题的整体训练价值和作用.在对选择好的例习题进行具体安排时，还要照顾到全体学生.题目的安排可从易到难，形成梯度，这样符合学生的认知规律，使得学困生不至于“陪坐”，学优生也能“吃得饱”，从而使全体学生都能得到不同程度的发展.

4 习题课教学的注意事项

4.1 例习题的设计要紧紧围绕教学目标进行

教学目标是教学活动的预期目的.它为教与学活动指明方向，具有维系教学组织活动各方面关系的凝聚作用.同时，它又是检测教与学任务是否完成的依据.因此，根据习题选配的目的性和针对性原则，习题课中例、习题的选择设计要紧紧围绕教学目标进行，并用典型例题的研究展开，并经过例题的变式练习和习题的练习完成习题课的教学任务.

4.2 注意对教材中例习题的利用和挖掘

教材中的例习题一般都是教材编者在众多的习题中经过认真研讨后筛选配置的，有些例习题还是教材编写者经过多次讨论和教学实践验证后才最后确定的. 因此，教师在进行习题课的例习题选编时，不要“丢了西瓜去捡芝麻，”丢掉教材中的例习题去搞大量的课外习题. 在对教材例习题选编时要本着“源于教材，又不拘泥于教材”的原则，优先考虑课本中的例习题；要对教材中的例习题进行深入的研究，将习题中具有代表性的选作例题并作适当的拓展、深化和变式，不足部分再选择一些课外资料中的习题作为补充.

4.3 教与学方式的选取要多样化

习题课教学知识密度大、题型多，学生容易疲劳，如果教学组织形式单一化，会使学生感到枯燥、乏味，这样容易丧失学习的积极性.为了克服这一现象，在习题课教学中一定要将启发式教学、探究式教学、讲授式教学等教学方式有机结合.学生的学习方式也要多元化，要将自主学习、合作学习、探究式学习和有意义的接受学习有机整合，并形成自主下的合作学习、自主下的探究式学习、自主下的接受学习、合作中的探究学习、合作中的接受学习以及探究中的接受学习.研究表明：有效的教与学活动是多种教学方式和学习方式的整合.[6]

4.4 要注意发挥学生的主体能动性

学生的学习过程是学生主体满足内在需求的主动探索过程.有效的学习过程是学生主动参与的动态过程.有效的学生参与不仅是行为参与，更多的是认知参与和情感参与，学生在深入地认知和情感参与问题解决的过程中方能获得成功的深切体验.因此，在习题课的教学中，教师教学设计的重心应放在如何激发调动学生参与的积极性，使学生全方位、全身心地参与到问题解决的过程之中；要改变教师独霸课堂话语权的“一言堂”“满堂灌”的教学形态，要把“自主权还给学生、时间还给学生、话语权还给学生，课堂还给学生；”[6]要让学生多动脑、多动口、多动手，给学生留下思维的时间和展示智慧与才华的空间，让他们在自主、合作、探究与对话交流中获得问题的解决，从而获得丰富的数学活动经验.

4.5 要强化审题意识，提高审题能力

审题是解题的首要环节.深入细致的审题是顺利解题的必要前提，审题质量的高低也会直接关系到解题质量的高低.因此，审题对能否成功解题至关重要.但长期以来，许多教师和学生都忽略审题.这对提高学生的解题能力十分不利.因此，在习题课的教学中要引导学生重视审题，并指导学生如何审题.

4.6 要重视解题回顾与总结，完善解题认知结构

提高学生的数学解题能力是数学习题课的重要目的.而解题能力的提高，在于不断地完善解题认知结构.“数学的解题认知结构是由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成.”[7]解题知识结构包括组织良好的数学知识结构和解题知识块.解题知识块包括“问题类型、基本数学模式、基本问题、一般的方法和特殊的技巧等” .“解题的思维结构包括一般思维方法、数学思想方法与数学解题策略等.解题的元认知，由主体的元认知结构和元认知监控组成.”[8]在数学解题中，解题认知结构越完善，即数学知识组织越良好，解题知识块越多，解题的策略方法越多，解题的元认知能力越强，解题的能力就越强.要完善解题认知结构，就要注意揭示知识的内在联系和规律.而数学解题认知结构形成的最有效的时机就是解题结束后进行解题回顾与总结提炼.因此，在习题课的教学中要引导学生对典型习题进行反思回顾与总结提炼，对典型例习题进行深入地挖掘、研究、引申、推广；对解题方法和解题策略进行回顾与总结，使学生在反思回顾的过程中总结、提炼与积累数学解题经验，完善解题认知结构，从而提升学生的数学解题能力.