数学理解的评估与教学改进策略

邵宇

【摘   要】数学理解是一个积极建构的过程，需要学生主动将新信息、新情境与已有的知识进行联系。教师应转变教学策略，多运用数形结合思想，引导学生经历分析、对比、操作、评估、深化等过程，让学生在更高的层级达到数学理解。

【关键词】数学理解;教学;评估

一、理论：数学理解之价值指向

杜威认为，理解是学习者探究事实意义的结果，可见理解是主动建构内部的心理表征，进而获得心理意义的过程。数学理解是一个积极建构的过程，学生在构建自己理解的主旨时，是作为一个建设性的参与者，采用数学的视角感知现实世界，用数学的语言表征现实世界，用数学的思维方式建立数学与现实之间的联系，选择和运用合适的数学概念和策略解决现实中的问题，并基于给定的数据进行合理监控或验证。

数学理解是学生数学学习过程中的中心环节，其目标指向既是“对数学对象的理解”，又是“从数学的角度理解现实”，需要通过某种模型去呈现学生思维内部对知识的建构状态与建构过程。英国的皮里（Pirie）和加拿大的基轮（Kieren）提出了一个数学理解发展的理论模型——“超回归”数学理解模型。该模型以认知结构的观点提出数学理解并非直线式的提高或直线式的发展，而是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的、反反复复的建构过程。它由原始认知、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造八个不同理解水平组成，能完整呈现学生理解某一数学知识所经历的全过程（见图1）。

“超回归”数学理解模型揭示了学生数学理解过程的基本规律，学生对数学概念的理解、掌握、运用的过程，不可能一蹴而就，需要在不同理解水平间循环往复，从而螺旋式地把对知识的理解推向深入。

笔者根据这一理论，评估了学生对长方体和正方体体积的理解，看学生能否主动将新信息、新情境与他们现有的知识和理解相联系，并根据学生在观察现象、表述和处理问题上所采用的策略、方法，探究学生数学理解认知结构的层次性，以此作为重组学习材料，探讨教学转变策略的依据。

二、诊断：数学理解之评估分析

在学生学习了长方体和正方体的体积后，为评估学生对此概念掌握的真实水平和理解程度，在某次数学测试中，笔者设计了这样一道题：

这个评价任务是基于对长方体和正方体体积概念理解的拓展应用。笔者对区内近200名学生进行了评估，结果显示正确率只有43.7%。表1是对错误情况的数据统计与分析。

从表1可知，47.5%的学生对长方体和正方体体积概念、计算与运用存在理解偏差。体积概念是指这个物体中含有多少个体积单位。学生借助小正方体摆长方体，通过观察长方体长、宽、高的关系，运用“每排的个数、排数、层数”来理解体积计算公式的含义，从而得到长方体的体积是“长×宽×高”，这是获得体积计算公式建立的表象。计算过程中出现的错误说明，学生对长方体体积概念的理解存在知识结构不完备，概念掌握不准确、不清晰等问题。

三、改变：数学理解之教学策略

學生对长方体和正方体体积的计算与应用有一定的原始认知和表象建立，但其理解水平不同。因此笔者尝试在教学中设计不同层次的学习任务，帮助学生厘清、再建已有的概念，在丰富的活动中促进学生对长方体和正方体体积的数学理解。

（一）追本求源，厘清学生的“原初思维”

教师应了解学生已理解什么，理解到何种程度，采用什么思维策略，容易在什么地方产生迷思。探寻学生“原初思维”最有效的方法就是追本求源，厘清思路。

【教学片段1】

（1）出示学生解决这个问题的四种方法。

方法一：个数=大体积÷小体积，（24×12×9）÷（2×2×2）=324（个）。

方法二：24÷2=12（个），12÷2=6（个），9÷2=4.5（个），12×6×4.5=324（个）。

方法三：24÷2=12（个），12÷2=6（个），9÷2=4（个）……1cm，12+6+4=22（个）。

方法四：个数=沿长放几个（每行的个数）×沿宽放几个（行数）×沿高放几个（层数），24÷2=12（个），12÷2=6（个），9÷2=4（个）……1cm，12×6×4=288（个）。

师：比较这四种方法，它们有什么不同的地方？哪种方法是对的？

（同桌小声讨论）

师：为什么选择第二种？

生：因为没有放满。9÷2=4（个）……1cm。

通过四种方法的比较，教师引导学生聚焦于正方体积木在收纳盒里摆放的表象建构。方法一与方法二相似，都理解为在长方体中能放满正方体。方法一和方法四截然不同的策略，引导学生思考收纳盒的长、宽、高与正方体积木棱长之间的倍数关系，会影响实际摆放的空间结构（是否放满）和个数。学生会发现方法三和方法四依据的是长方体体积计算公式推导原理，将长方体收纳盒的长、宽、高对应正方体积木摆放的每行个数、行数、层数，由此理解方法三缺少三维立体构建。

（2）建立放不满的空间表象。

生：24里有12个2，长就可以放12个;12里有6个2，宽就可以放6个;9里有4个2，高只可以放4个，还余1厘米，放不下正方体积木了。

师：长方体收纳盒里能放多少个正方体，就是看长方体的长、宽、高里面各有几个这样的棱长，所以总个数=每行个数×行数×层数。

教师引导学生聚焦是否“放满”，重点表达长÷2=每行个数，宽÷2=行数，高÷2=层数，帮助学生建立积木摆放的表象。

（二）聚焦难点，引发学生“认知冲突”

数学理解的过程应建立在学生已掌握的知识之上，在不同情境对比中聚焦难点，让学生在学习体验中，领悟空间图形与因数、倍数知识间的联系。

【教学片段2】

（1）情境对比，直击题意。

出示另一种情境：小红家有很多完全相同的小正方体积木，这些小正方体积木的棱长是整厘米数。小红把它们放入24×12×9这个长方体收纳盒里，长、宽、高正好都放满（无空隙），你能求出正方体积木的个数吗？最少能放多少个正方体？

通过比较，学生发现，两题的相同点是收纳盒大小一样，问题都是求放入的小正方体积木的个数;不同点是第一题已知小正方体的棱长，第二题只知道正方体棱长是整厘米数。第一题不知道有没有放满，第二题正好放满。第一题求最多有多少个，第二题求最少放多少个。教师追问，都是求在收纳盒里放入正方体积木的个数，为什么一个是最多，一个是最少。由此让学生理解要求正好放满，说明正方体棱长的厘米数是长方体长、宽、高的厘米数的公因数（1和3）。在收纳盒中，正方体积木棱长越大，个数越少，当正方体棱长是长、宽、高的厘米数的最大公因数时，个数最少。学生在比较中理解题意，体验正方体积木的棱长从因数到公因数再到最大公因数的演变过程。

（2）方法对比，直击冲突。

师：那收纳盒中最少能放多少个小正方体积木呢？小正方体棱长是多少？请大家画图想一想。

生：当正方体棱长是长、宽、高的厘米数的最大公因数时，个数最少。24，12，9的最大公因数是3，所以放的个数是（24÷3）×（12÷3）×（9÷3）=96（个）。

师：回到收纳盒里的摆放，也就是沿着长放8个（每行个数），沿着宽放4个（行数），沿着高放3个（层数）。（PPT动态呈现）

师：看着直观图，你有不同的想法吗？

生：长方体体积÷小正方体体积=（24×12×9）÷（3×3×3）=96（个）。

师：用大体积除以小体积可以吗？

生：可以，结果一样。因为这里小正方体棱长是长方体长、宽、高的公因数，刚好能放满，所以可以用大体积除以小体积。

师：对比观察这两道题，想一想，你发现收纳盒里有什么秘密？

（生交流，小结）

秘密一：当小正方体棱长是长方体长、宽、高的因数时，正好放满，可以得到：大体积÷小体积=正方体的个数。

秘密二：不管小正方体棱长是不是长方体长、宽、高的因数，是否放满，都能得到：每行个数×行数×层数=正方体的个数。

面对不同的实际情况，学生会陷入“认知冲突”：怎样的情况，可以用“大体积÷小体积=个数”来解决？怎样的情况不能用，要根据实际摆放情况来解决？“认知冲突”激发了学生自主探究“真相”的动力，他们发现长方体长、宽、高的公因数与小正方体的棱长的关系是解决问题的关键。教学中课件的直观性支撑学生的思维，帮助空间想象有困难的学生实现“眼中有数，脑中有形”，促进数学理解。

（三）空间想象，开放学生的“动态思维”

学生经过对比学习，能结合长方体长、宽、高的数据特征想象出在不同情境下收纳盒中正方体的摆放表象。为了让学生理解得“深”一点，笔者设计了开放的情境，激励学生进行空间想象。

【教学片段3】

（1）开放探究，动手操作。

开放情境：小红把若干个棱长是整厘米数，完全相同的小长方体积木放入收纳盒，正好放满。若让你来设计这个小长方体积木，它的长、宽、高会是多少？这个收纳盒里能放多少个小长方体积木呢？画一画，怎么摆放？完成学习任务单。

空间想象是空间观念的要素，学生先根据长方体积木与长方体收纳盒两者的长、宽、高的数量关系，在头脑中“发明创造”长方体积木摆放表象，再动手画图验证，既从“数”上理解因数与倍数的特征，又在“形”上建立立体的三维表象，加深对长方体的空间感知，发展空间观念。

（2）关系探索，数形结合。

师：你们组设计的小长方体都有什么特征呢？

生：小长方体积木的长、宽、高是大长方体收纳盒的长、宽、高的因数（反之，是倍数关系），这样就正好沿长、宽、高放满相应的个数。

师：此时积木的总个数是……

生：总个数=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）。

师：这里能用“大体积÷小体积=积木个数”吗？

生计算后交流：放满时，也可以直接用“大体积÷小体积”来解决问题。

学生经过活动经验的积累，已经能抽象出数与形的关系。

（3）变式深化，动态想象。

师：小红设计的长方体是这样的：a=9cm，b=8cm，c=6cm，能放吗？

生：不能，因为它的长、宽、高不是收纳盒长、宽、高的因数。

生：能，8是48的因数，6是12的因数，9是9的因数，刚好放满。

师：（PPT动态演示）观察积木长、宽、高数据的特征，看它是大长方体哪条棱的因数，就改变摆放的位置，找到它的对应边摆放，尽量放满。

教师创设开放的情境，引发学生的认知冲突，发挥学生的想象力，让空间思维“动”起来。面对积木的长、宽、高与收纳盒的长、宽、高不对应的数据，学生从长方体长、宽、高三维角度想象物体的位置关系，是“動态思维”的表现。

（四）整体评估，监测学生的“认知层次”

笔者设计的评估任务旨在考查学生在开放、真实的情境下，能否达到：（1）用语言、算式、画图等不同方式表征问题的答案;（2）能明确表达解决问题的思维与策略;（3）能 “优化策略”，并能用可理解的方式直观表征。

【教学片段4】

小红有若干个长、宽、高分别为5厘米，4厘米，3厘米的小长方体积木，超市里有三个尺寸不同的收纳盒，价格相同，小红选择哪个收纳盒更合适？（单位：厘米）

师：什么叫更合适？

生：放的积木的数量最多，正好放满。

师：能正好放满最好，如果不能放满，我们要考虑谁的数量最多。那么，哪个收纳盒放的积木最多呢？自己研究一下。

（生自主研究，小组交流，全班汇报）

（1）A收纳箱。

（2）B收纳箱。

因为23不是5的倍数，所以只能在20×12×6的空间放积木，可以放20×12×6÷（5×4×3）=24（个）。这时还有3×12×6的空间，但只能在3×12×5的空间放积木，可以放3×12×5÷（5×4×3）=3（个）。所以能装20×12×6÷（5×4×3）+3×12×5÷（5×4×3）=27（个）。

（3）C收纳箱。

因为正好放满，所以直接用“大体积÷小体积=个数”，即24×10×6÷（5×4×3）=24（个）。

通过评估任务，教师能了解到学生的认知层次：第一层次是看哪个收纳盒正好放满，于是会快速获得C收纳盒里的个数。第二层次是看放不满的A、B收纳盒中，通过总个数=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）的模型，分别获得A、B收纳盒里小长方体积木的个数。第三层次是学生发挥空间想象，探究数据间的关系，有意识地在不同的位置关系中转换，不断沟通数与形之间的关系，从而“优化策略”。这三个认知层次反映了学生不同的理解程度。

整个教学实践过程，在评估数据分析的基础上，引导学生经历了多次的认知冲突与碰撞，使学生在对长方体中摆放小方块的实际问题的思考上升了一个层次：从“长、宽、高”分别能放多少块的角度来理解，用“沿长放几个×沿宽放几个×沿高放几个”构建了三维立体表象。

“数学理解”需要学生主动将新信息、新情境与已有的知识进行联系，教师也要转变教学策略，多运用数形结合思想，有目的地进行点拨、引导，让学生在更高层级达到数学理解。

参考文献：

[1] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2] 格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设计[M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2013.

[3]包静娟.数学理解：课堂教学的价值追求[J].江蘇教育（小学数学），2018（6）.

[4]李淑文，张同君.“超回归”数学理解模型及其启示[J].数学教育学报，2002（1）.

（浙江省杭州市青蓝青华实验小学   310000）