确界定义中隐含的数学思想

李辉

【摘要】本文旨在深入剖析上确界定义所蕴含的数学思想，阐明该思想有利于使得把抽象概念具体化，使得学生在学习起来通俗易懂。也就是用反证法思想在定义上确界。

【关键词】反证法思想;上确界。

1上确界的定义：

设是中的一个数集，若数满足：

对一切，有，即是的上界;

对任意的，存在，使得。

在上确界的定义中阐明了两件事情：第一件就是上确界首先应当是上界，这个是大家不难理解的。其次就是上确界是最小的上界。这一点在第二条中给予充分的说明，但对于第二点却不好理解。其实在第二点中主要是在论证关键词“最小”的含义。这里实质上蕴含了反证法思想，也就是在定义中用反证法去论述。

也就是假设（真实的上确界）并不是最小的上确界。但这里着重强调论证“最小”的含义。先唱个反调不是最小！什么叫不是最小呢？就是有比还要小的上确界。是谁呢？即（反证法假设的上确界）。就是假设现在是集合的上确界，并且也表达出比小一点点（即）的数的确切含义。

但当（这个假想的上确界）充当上确界时，矛盾产生了！因为首先上确界是集合的上界，（也就是在集合内部是老大）竟然在集合中跑出一个点超过那个假想的老大（即）。这就产生了矛盾。这说明这个假想的上确界是不对的，即不能再让数再小一点点，如图（1）所示。

2从另一个角度看上确界的定义

如果仅仅看第（ii）条，而没有第一句话能说明什么？

应该说明了，因为当时，这样的有可能不存在，故;另外再结合第一句话看：有，这说明是的上界，说明了。把（1）式和（2）式结合起来看两者之间是且的关系，故，如图（2）所示。

3充说其他方面的补明

对于下确界首先是下界，其次是最大下界，同理也是蕴含了反证法思想，分析过程同上。另外上确界在集合内部是老大，但在集合外部确是老幺;而下确界在集合内部是老幺，在集合外部是老大。所以把上确界与最大值等同起来以及把下確界与最小值等同起来均是指在集合内部而言的。

参考文献

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