普通高中数学新课程标准中“几何与代数”主题解读

2020-09-12 14:05:30 考试周刊 2020年77期

摘 要:新旧课程标准中几何和代数主题的教材内容安排有很多变化,新课标中提出了数学学业质量的标准,分三个水平对学生应该达成的数学核心素养的目标,学生自主学习与评价,教师教学活动与评价,教材编写、相应考试命题提出了要求,需教师明确才能更好地把握教学。

关键词:几何;代数;学业质量

一、 背景:数学科学首先作为几何出现

几何与代数是数学中最古老的内容。几何学产生于古埃及测量土地,为了计算产生了代数,在古代两者密不可分。此后,数学发展为欧氏几何和方程的研究,经过长期的分离后,解析几何的产生又使两者紧密联系在一起。尤其在近代,向量内容融入后,几何和代数成为一个整体,发展为数学最重要的内容之一。

二、 新旧课标对几何和代数主题的要求和教材内容安排的变化

(一)不同版本教材的课程目标要求

旧大纲,使学生学好从事社会主义建设和进一步学习所必需的代数几何的基础知识和基本技能。培养思维能力,运算能力,空间想象能力,解决实际问题的能力,即双基,四能。以几何代数内容为主。概率统计,微积分的初步知识未列入高考的范围。

新大纲,除双基要求外,培养思维能力具体化为,空间想象,直觉猜想,归纳抽象,符号表示,运算求解,演绎证明,体系构建等,并对数学教学过程,探究,建模,交流提出了要求,在双基中对概率统计,微积分初步知识的要求提高,教材内容在旧大纲版的基础上,增加了概率,微积分知识,提高了考查的要求,由初步知识变为基础知识,提出了直觉猜想的能力要求。

现行课标,提出了进一步提高作为未来公民所必要的数学素养的要求,为双基,五能,分别是,空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理。同时对问题情境,概念,结论产生的背景提出了要求。

新课标,使学生能获得进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识,基本技能,基本思想,基本活动经验,简称四基,提高从数学角度发现和提出问题的能力,分析和解决问题的能力,简称四能。在学习数学和应用数学的过程中,学生能发展数学抽象,逻辑推理,数学建模,直观想象,数学运算,数据分析等数学学科核心素养。

(二)与几何与代数内容密切相关的课程目标要求

新旧大纲及现行课标都有运算,空間想象推理能力的要求。新课标变为发展直观想象,逻辑推理,数学运算三个素养,说法由能力深化为核心素养,即培养数学的综合能力。主要变化是把空间想象变为直观想象,这样要求就更广泛,不仅仅局限在几何内容中。体现为由图描述,分析,理解,解决数学问题。对构建数学问题的直观模型提出了要求,内容要求从以几何代数内容为主,变为要求更丰富,涉及数学其他分支。

总之,课标要求由能力要求上升为核心素养要求,即思维层面要求。几何方面要求由空间想象能力上升为直观想象的素养。代数由仅运算求解的要求上升为数学运算,不仅会算,还要明确算理。

(三)几何与代数教材内容的变化

中学阶段代数知识学习主要为方程问题(如待定系数法,化归转化法,坐标法及向量法,多数最终都转化为方程求解问题)。几何知识的学习主要为图形基本性质(如平面,立体几何中的性质,定理,圆锥曲线的几何性质)极其简单的几何变换(如平移和伸缩,对称变换)。解析几何通过向量及坐标法把几何与代数统一起来了,也就是直观的几何关系代数化,抽象的运算直观化(如平行、垂直判定方法,方程组与曲线的交点问题等),即数学符号是文字化的图形,几何图形是图象化的公式。

从整个教材变化来看,是从综合几何向向量几何改变,大家知道,是古老的三个几何作图问题(倍立方,三等分角,化圆为方)的研究促使了近代抽象数学的产生和发展,使几何代数在更深层次有了统一性,向量内容是高中数学最主要的内容,坐标系的拓展都是从向量基底的角度进行的,解析几何及线性代数的研究都离不开向量。正因如此,现行及今后数学教材都把用向量解决几何问题作为主要内容,同时新课标对基底的思想和方法提出了更高要求。

(四)不同版本教材内容的安排及变化

旧大纲版几何和代数是分开的,几何为立体几何和平面解析几何,立体几何先学习点、线、面的位置关系,以位置为主线安排教学内容,每个定理都有纯几何的证明。然后是空间几何体的学习,便于学生较理论的认识几何体,即按点、线、面、体的顺序安排教材内容。同时有祖暅原理,球缺,拟柱体、正等测画法等知识,逻辑体系完整,无三视图知识。

平面解析几何,为直线、圆,圆锥曲线,极坐标及参数方程,体系完整。直线有定比分点及夹角公式。圆锥曲线内容学习第二定义,有椭圆、抛物线的画法,坐标平移变换的内容,极坐标有圆锥曲线的统一方程。

代数中复数有三角形式,学习复数的乘除的几何意义,此外,还有二阶行列式的知识。正、余弦定理,在三角中学习。

新大纲版(实验本)几何与代数合为“数学”,称试验修订本。分A版和B版,B版中引入了向量的内容。

立体几何在高二学习,用向量方法论证(如线面垂直判定定理)一些定理。并用空间向量解决夹角和距离问题,有多面体的知识,为文理都学必修内容,无三视图知识,逻辑要求有所降低。

解析几何无定比分点知识,增加了线性规划内容,降低了对圆锥曲线第二定义要求,删去了坐标变换的内容,极坐标内容,参数方程只学圆、椭圆的参数方程。

代数中正、余弦定理,在三角形知识中学习。复数删去了三角形式,为文理都学内容,总之,与旧大纲版比削去了一些枝节知识,融入了向量工具。

课标版(试验本)立体几何分两个阶段学习,第一阶段是立体几何初步,为文理都学内容,增加了三视图知识,先整体感知空间几何体,再以性质为主线,安排点,线,面内容,突出了学生对几何知识的直观感知,判定定理没有证明,降低了几何学的逻辑要求。第二阶段是空间向量与立体几何(供理科生学习),在新大纲版基础上增加了一些用向量方法解决几何中垂直和夹角问题的例题,删去了异面直线的距离的知识,对距离问题没做要求,空间坐标内容放在了必修2学习。

解析几何在实验本基础上删去了直线的夹角公式,把线性规划的知识放到必修5的不等式一章中,没有圆锥曲线的第二定义。文科为掌握圆、椭圆内容,了解抛物线、双曲线的内容。理科为掌握椭圆、抛物线的内容,了解双曲线内容,文理要求不同,与之前两版本对三种曲线要求都为掌握,变为一些掌握。极坐标内容,在新大纲版基础上又加上了参数方程内容,增加了直线参数方程,例题内容比前面版本更丰富,放在4-4中以专题形式学习。

代数与新大纲版一致,复数只学代数形式,修订后的两个版本与旧大纲版比,都增加了用向量解决几何问题的内容,现行教材例题更丰富,涉及跨学科及体现数学史的例子反映了数学学科的科学性及人文性。

新课标版(不分文理)以主题方式安排教材内容,分必修与选择性必修,立体几何初步删去了三视图,中心、平行投影内容,内容安排方式及要求与现行版本基本一致,判定、性质定理仍为借助长方体模型通过直观感知了解位置关系,归纳判定、性质定理,只对性质定理证明,仅限于位置关系的学习,不涉及度量关系。仍遵循从整体到局部,从具体到抽象原则。

选择性必修中,把空间坐标系放到该主题,在现行教材对距离不做要求基础上,新课标对点,线,面间距离有要求,是能用向量方法解决,在现行教材基础上略微提高了用向量研究几何问题的要求。

解析几何,降低了要求,删去了线性规划的知识,只掌握椭圆的内容,抛物线及双曲线内容为了解,提出了以几何问题(图形)的分析,探索解決问题的思路,再运用代数方法得结论要求。以往教学只注重几何问题的代数化,不注重几何特征对代数思路的引导作用,这在这些年高考题的选择题、填空题中多有体现。

代数,总体上对向量及复数内容的要求略有提高,把必修5中的正、余弦定理安排在向量的应用一单元,从三角形知识中拉了出来,平面向量的基本定理由了解变为理解,增加了空间向量投影的知识,对理解向量基本定理,感悟“基”的思想提出要求,让学生更本质的认识向量及其应用。复数内容要求也略有提高,代数表示及几何意义由了解变为理解,复数四则运算要求由“能进行”变为“掌握”,并补充了复数的三角表示内容。

总之,新教材内容呈现方式与现行课标版基本一致,知识体系安排与新大纲版,也就是实验本基本一致,为两版本教材取长补短后形成的更加合理、科学,体现数学学科特点的教材。

三、 学业质量要求解读(类似于考纲)

数学学科学业质量是学生应该达成的数学核心素养的目标,是数学核心素养与课程内容的有机结合,学业质量是学生自主学习与评价,教师教学活动与评价,教材编写的指导性要求,也是相应考试命题的依据。学业质量水平划分为三个水平,每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的四个方面进行表述的,为情境与问题,知识与技能,思维与表达,交流与反思。现分三个水平列表对比说明。

总体上看

水平一,主要为对知识的掌握和理解层面(为学业水平考试命题的依据)。

水平二,主要为知识重新建构融合形成能力层面(为高考命题的依据)。

水平三,主要为形成数学思维能力,从数学学科整体角度认识知识内在联系及体系,为思维层面要求(为高校自主招生的依据)。

总之,课标要求由能力要求上升为思维上的素养要求,新课程教材内容削支强干,增强了向量在解决几何问题中的作用。思维上降低了纯几何的逻辑推证要求,提高了代数推理及运算要求,并以学科知识体系为主的主题形式展开内容。教材例子趋于丰富,安排了一些跨学科,综合运用,人文性强的例子,增强了教材的实践性,科学性,人文性。

参考文献:

[1]王尚志,高定量.普通高中数学课程分析与实施策略[M].北京:北京师范大学出版集团,2016.

作者简介:

宋书君,甘肃省天水市,甘肃省武山县第二高级中学。