齐次式的应用

张映雄

(云南省红河州蒙自市第一高级中学 661199)

齐次式在高中阶段是比较常见的一种结构，也是高考常考的一种结构.但是齐次式的用法比较零散，很多学生都是在解题过程中断断续续地学过用过，但是可能连自己都没意识到自己用的就是齐次式.本文将齐次式在高中阶段的用法做一些归纳整理，希望对各位读者有所启发.

在实际应用中，齐次式经常会与三角公式、正弦定理、等比数列、不等式、函数、导数、离心率、斜率等知识相结合，形式多种多样.下面将列举一部分齐次式在高中数学中的应用.

一、齐次式在三角函数中的应用

解2sin2α=cos2α+1是隐藏的齐二次方程.

小试牛刀【2015广东 文】已知tanα=2.

二、齐次式在解三角形中的应用

例2(2019年高考全国Ⅰ卷理数)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

由于0°

小试牛刀(2018全国新课标Ⅰ文)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为____.

三、齐次式在均值不等式中的应用

小试牛刀(2012浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ).

四、齐次式在等比数列中的应用

例4(2019年高考全国Ⅲ卷理数)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( ).

A.16 B.8 C.4 D.2

小试牛刀(2015年新课标2理科)等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( ).

A.21 B.42 C.63 D.84

五、齐次式在导数中的应用

当在出现二元变量时，若存在齐次式，可以通过乘除的方式，将二元变量降为一元变量，从而构造函数求解.

因为x>1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，故f(x)

因为x>1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)

(1)求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)=m有两个零点x1,x2，且x11.

方法二：齐次式消元.

小试牛刀(2018届四川省广元市高第二次统考)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).

(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；

六、齐次式在圆锥曲线中的应用

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

解(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.

牛刀小试(黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试数学试题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.

(1)求p的值；