三道赛题的有趣推广

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

此题可以推得以下有趣的推广命题.

证明由柯西不等式，得

此题可以推得以下有趣的推广命题.

证明由二元及三元均值不等式，得

说明由推广命题的证明可以看出，原赛题中的条件x3+y3=2是多余的.

赛题3(2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一赛题)如果存在实数a，使得关于x的不等式acosx+bcos2x>1无实数解，那么实数b的最大值为____.

此题可以推得以下有趣的推广命题.

命题设c为正常数，如果存在实数a，使得关于x的不等式acosx+bcos2x>c无实数解，那么实数b的最大值为c.

证明因为关于x的不等式acosx+bcos2x>c无实数解，所以关于x的不等式acosx+bcos2x≤c的解集为R.

所以取x=0，得a+b≤c；取x=π，得b-a≤c.

两式相加，即得b≤c.

当b=c时，取a=0，此时原不等式为cos2x>1，显然无解.所以实数b的最大值为c.