一道两点横坐标乘积为定值联考题的探究*

北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

解析几何中的定值问题是近些年各类考试的新宠，反映了运动变化过程中的不变性.由特殊到一般探究定值问题的源与流，是我们深刻认识这类问题的必修课.下面以一道联考定值问题为例，谈一谈蕴含其中的源与流，供大家参考.

1 问题提出

题目(湖北省部分重点中学2020 届高三第一次联考)已知椭圆ω:=1(a ＞b ＞0)的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点C(0,2)，ΔABC的面积为过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆ω于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.

(1)求椭圆ω的方程;

(2)试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及定值问题，考查了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，检验了学生分析问题与解决问题的能力.试题构思巧妙、内涵丰富，符合新课标理念.

2 问题解答

解(1)略，椭圆ω的方程为

(2) 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为y=kx+2，则直线BP的方程为y=，令y=0，得点M的横坐标xM=又直线BQ的方程为令y=0，得点N的横坐标xN=所以

联立y=kx+2 与+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，所以x1+x2=-，x1x2=，于是故M，N的横坐标的乘积是定值

点评由于直线l的运动引起了点M，N的变化，因此解法以直线l的斜率k为研究对象，并借助点P，Q的坐标表示出xMxN，然后根据韦达定理建立了xMxN关于k的关系式，最后通过数学运算得出答案，体现了坐标法的应用.

3 问题探源

问题中的xMxN为什么是定值? 我们可以根据仿射变换把椭圆变为圆进行解释: 椭圆经过仿射变换φ:后得到圆O′:x′2+y′2=1，则由此可知圆中的M′，N′的横坐标之积是定值故本题的根源就是圆具有这样的性质.

解析几何是一门用代数方法研究几何问题的学科，为了凸显这道试题的几何味道，结论可以改为探究|OM|·|ON|是否为定值，经过以上解答就可以得出|OM|·|ON|是定值在仿射变换φ后的圆O′中就有|O′M′|·|O′N′|是定值在此基础上，我们还可以给出圆中的更一般性结论.

命题如图1，已知圆O的半径为R，过O作两条互相垂直的直线l1，l2，B是l2与圆O的一个交点，定点C在l2上，满足B，C在l1的两侧，且OC=m ＞R，过C作与l2不重合的直线l与圆O交于P，Q两点，直线BP，BQ分别与l1交于M，N两点，则OM ·ON=

图1

下面给出一种几何证明方法.

证明设圆O与l2的另一个交点为A，连接AP，AQ，则∠BNO=90◦-∠OBN=∠BAQ=∠BPQ，∠OBN=∠APC，于 是=tan ∠OBM=tan ∠ABP=所以即，故

4 本质探究

根据仿射变换，很容易将圆中的一些结论推广到椭圆上去.

性质1已知椭圆=1(a ＞b ＞0)的下顶点为B，定点C(0,m)(m /=-b)，过C作与y轴不重合的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点，则|OM|·|ON|=

证 明设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为y=kx+m，则直线BP的方程为y=- b，令y=0，得点M的横坐标xM=又直线BQ的方程为y=-b，令y=0，得点N的横坐标xN=所以

联立y=kx+m与得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，所以x1+x2=-x1x2=由此得

k2x1x2+k(m+b)(x1+x2)+(m+b)2=于是|OM|·|ON|=，故结论成立.

由于圆中两条互相垂直的直径经过仿射变换是椭圆的共轭直径，那么在共轭直径背景下的结论如何呢? 我们先给出有关概念和常见性质.

定义连结椭圆上任意两点的线段叫做弦.过椭圆中心的弦叫做直径.平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD互为共轭直径.当一对共轭直径互相垂直时，即为椭圆的长轴与短轴.

椭圆的共轭直径有如下常见性质.

已知AB和CD是椭圆=1(a ＞b ＞0)的一对共轭直径，设A(x1,y1)，C(x2,y2)，则

在椭圆的一对共轭直径背景下，有下面的结论.

性质2如图2，已知椭圆ω:=1(a ＞b ＞0)的一对不垂直的共轭直径所在直线分别为l1，l2，A，B分别是l1，l2与椭圆ω的一个交点，点C是l2上与B不重合的一定点，过C作与l2不重合的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，直线BP，BQ分别与l1交于M，N两点，则|OM| · |ON|=·|OA|2，其中yB，yC分别是B，C的纵坐标.

图2

证明设B(acosθ,bsⅰnθ)，A(acosγ,bsⅰnγ)，因 为l1，l2是椭圆ω的一对共轭直径所在直线，所以cosθcosγ+sⅰnθsⅰnγ=0，即cos(θ-γ)=0.不妨设θ-γ=此时A(asⅰnθ,-bcosθ)，所以l1的方程为

设P(acosα,bsⅰnα)，Q(acosβ,bsⅰnβ)，则BP的方程为

BQ的方程为

①与②联立，得M的横坐标xM=①与3○联立，得N的横坐标xN=，于是

因为C，P，Q三点共线，所以(acosα-xC,bsⅰnα-yC)，=(acosβ-xC,bsⅰnβ-yC)，所以(acosα-xC)(bsⅰnβ-yC)=(acosβ-xC)(bsⅰnαyC)，整理得absⅰn(α-β)-bxC(sⅰnα-sⅰnβ)+ayC(cosαcosβ)=0，即

又C在l2上，所以yC=，即bxC=代入5○，化简得代入4○，得|OM|·|ON|=·|OA|2=故结论成立.

以上由特殊到一般，揭示了这道定值问题的根源与本质.在教学中，教师要帮助学生养成良好的学习习惯，敢于质疑、善于思考、把握本质，厘清知识、结论的来龙去脉，这样的数学学习才更加有意义，数学核心素养的提升才会指日可待.