利用导数求解一类含参数取值范围问题的常用方法

广东省广州市第七中学 陆曼丽

利用导数求解参数取值范围问题是一类常见的探索性问题，是导数应用的一个重点，若能掌握此类问题的解法，对培养学生的逻辑思维能力、数学抽象能力，数学运算能力和知识整合能力有很大的帮助.

一、梳理方法，加深理解

利用导数求解参数取值范围常见的方法有: 分离参数法、含参讨论法、分离函数法.这三种方法各有特点.

分离参数法: 若参数的系数符号确定(无需讨论符号的正负便可以把参数分离出来)，而且构造的函数相对容易求出导函数，并能确定导函数的正负，可选择分离参数法.

含参讨论法: 若含有参数的函数表达式是一些简单且常见的基本初等函数的四则混合运算的形式，可考虑用含参讨论法，但要注意对参数进行分类讨论，不重不漏.

分离函数法: 一般适用于能分离出含参数和不含参数的两类初等函数，再对含参数和不含参数的两个函数进行分析，本文主要分析一类能分离出含参数的一次函数的题型.

二、甄别细微，领会异同

例1函数f(x)=xlnx+ax2(a为常数)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围.

解法1(分离参数法) 因为f′(x)=lnx+1+2ax(x ＞0)，而函数f(x)=xlnx+ax2(a为常数) 有两个极值点x1，x2等价于f′(x)=0 有两个不相等的变号的实数根x1，x2，由f′(x)=0，即-2a=(x ＞0)，设(x ＞0)，则g′(x)=令g′(x)=0，得x=1;所以，当0＜x ＜1 时，g′(x)＞0，g(x)在区间(0,1)内单调递增; 当x ＞1 时，g′(x)＜0，g(x) 在区间(1,+∞)内单调递减.g(x) ≤g(1)=1，且x →0+时，g(x)→-∞;x →+∞时，g(x)→0+.从而，由g(x)=f′(x)=0 有两个不相等的变号的实数根x1，x2，得0＜-2a ＜1，即

方法点睛函数有极值点是其导函数所对应的方程有实数根的充分不必要条件，所以一定要强调并教会学生证明它的必要性.而函数有极值点的充分且必要条件是导函数对应的方程有变号的实数根.对题目进行适当的变形，并使用分离参数法解题，能避免对参数进行分类讨论的麻烦，只需求y=-2a这条水平线与函数g(x)=图像有两个变号的交点即可.

解法2(含参讨论法) 因为f′(x)=lnx+1+2ax(x ＞0)，而函数f(x)=xlnx+ax2(a为常数) 有两个极值点x1，x2等价于f′(x)=0 有两个不相等的变号的实数根x1，x2，设h(x)=lnx+1+2ax，则h′(x)=+2a(x ＞0)，

当a≥0 时，h′(x)＞0 恒成立，所以h(x)在(0,+∞)单调递增，最多有一个零点，不符合题意;当a ＜0 时，由h′(x)=0得:x=＞0.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况列表如下:

x(0,- 1 2a)- 1 2a(- 1 2a,+∞)h′(x)+0-h(x)↗极大值↘

所以，h(x) 在区间内单调递增，在区间单调递减，且x →0+，h(x)→-∞;x →+∞，h(x)→-∞，所以，由f′(x)=lnx+1+2ax=0 有两个不相等的变号的实数根x1，x2，得解得

方法点睛函数h(x)=lnx+2ax+1 的表达式是一些简单的初等函数的加减运算的形式，所以可以尝试使用含参讨论法.因为函数的单调性与参数有关，从而在讨论导函数的正负符号时，需要对参数a进行讨论，而a≥0 时，导函数h′(x)＞0 恒成立，函数单调递增，最多有一个零点，从而直接排除.此外还需留意函数f(x)的导函数f′(x)有两个变号零点是函数有两个极值的充要条件.

解法3(分离函数法) 因为f′(x)=lnx+1+2ax(x ＞0)，而函数f(x)=xlnx+ax2(a为常数)有两个极值点x1，x2等价于f′(x)=0 有两个不相等的变号实数根x1，x2，由f′(x)=0，得lnx=-2ax-1 (x ＞0)，设φ(x)=lnx(x ＞0)，从而f′(x)=0 有两个不相等的变号实数根x1，x2等价于函数φ(x)=lnx图像与直线y=-2ax-1 有两个变号交点.设过定点(0,-1)的直线y=-2ax-1 与函数φ(x)=lnx相切时，切点为(x0,lnx0)，因为直线的斜率等于曲线φ(x)=lnx在该点处的导数，则所以即x0=1，此时直线斜率为1，要使函数y=φ(x) 图像与直线y=-2ax-1 有两个变号交点，则0＜-2a ＜1，即

方法点睛分离函数法的解法很灵活，要求学生能熟悉各类基本初等函数的图像，并能分析它与过定点的直线无交点、相切、相交的情形，特别是有变号交点等各类情况.而直线与曲线相切时，解题的关键是: 切点是公共点，切线的斜率是导数值.这需要学生有很强的数学建模，逻辑推理和直观想象能力.

三、灵活处理，优中择优

在具体的解题中，我们常常让学生优先使用分离参数法求解含参数取值范围问题.分离参数法能避免分类讨论的麻烦，比如:

例2设函数f(x)=(x -1)lnx+ax(a ∈R).若f(x)＞0 在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

思路探求因为参数a的系数为x，且x是恒正的，优先考虑用分离参数法，则f(x)＞0 在(0,+∞) 上恒成立，等价于＞-a在(0,+∞) 上恒成立，等价于＞-a.设g(x)=，x ∈(0,+∞)，只需求g(x)的最小值.由g′(x)=，再设h(x)=lnx+x-1，则h′(x)=+1＞0，则h(x)单调递增，且h(1)=0，所以x ∈(0,1)，h(x)＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递减;x ∈(1,+∞)，h(x)＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增;g(x)的最小值为g(1)=0，所以-a ＜0，即a ＞0.

方法点睛本题适合用分离参数法，由于含有参数，对很多学生来说常常感到束手无策，含参讨论往往牵涉到分类讨论，而分类讨论又恰好是一个难点，一个痛点.所以能用分离参数法来做的题目，我们优先选择用分离参数法.

其实，在本题中分离函数法也是不错的选择，因为f(x)＞0 在(0,+∞)上恒成立，等价于(x-1)lnx ＞-ax在(0,+∞)上恒成立，可以通过求导得出φ(x)=(x-1)lnx在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，且φ(x)mⅰn=φ(1)=0，只需过原点的直线y=-ax在φ(x)=(x-1)lnx图像下方即可求出a的范围.

分离参数法有时的确能避免分类讨论的麻烦，但是并不是所有的题目都适合用分离参数法，接下来的例3、例4 的解答方法中，含参讨论法是优先选择的方法.

例3若x=1 是f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点，则实数a取值范围是( )

A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1)

思路探求因为f′(x)=[x2-(a+1)x+a]ex=(x-1)(x-a)ex，且ex ＞0，所 以f′(x) 符号的正负与(x-1)(x-a) 的符号正负相同，要使x=1 是f(x) 的极小值点，则x=1 是变号零点，且在点x=1 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.由二次函数y=(x-1)(x-a)的图像知，图像开口向上，且零点x=a在零点x=1 的左侧，所以a ＜1.

方法点睛该题目适合用含参讨论法，参数问题因受各种因素的制约，多数题目很难一次性处理，分类讨论是其常见解法，若在解题前注意思维策略，适当作一些“技术处理”，则可避免或简化讨论，达到掌控解题节奏的目的，也收到事半功倍的效果.

例4已知函数f(x)=若a≥0，不等式x2f(x)+a≥2-e 对x ∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.

思路探求因为a≥ 0，x2f(x) +a≥ 2-e 对x ∈(0,+∞) 恒成立，等价于xlnx-ax+a-2+e ≥0对x ∈(0,+∞)恒成立.

设g(x)=xlnx - ax+a -2+e，x ∈(0,+∞)，g′(x)=lnx+1- a，令g′(x)=0，得x=ea-1，当x ∈(0,ea-1)，g′(x)＜0，g(x)单调递减;当x ∈(ea-1,+∞)，g′(x)＞0，g(x)单调递增;所以g(x)的最小值为g(ea-1)=(a-1)ea-1+a+e-2-aea-1=a+e-2-ea-1所以原不等式等价于a+e-2-ea-1≥0.

令t(a)=a+e-2-ea-1，a≥0，则t′(a)=1-ea-1，令t′(a)=0，得a=1，当a ∈[0,1)，t′(a)＞0，t(a)在[0,1)单调递增;当a ∈[1,+∞)，t′(a)＜0，t(a)在[1,+∞)单调递减;所以

ⅰ)当a ∈[0,1)，g(x)的最小值g(ea-1)=t(a) ≥t(0)=则0 ≤a ＜1;

ⅱ) 当a ∈[1,+∞)，要使g(x) ≥0 恒成立，则g(x) ≥g(ea-1)=t(a)=a+e-2-ea-1≥0=t(2)，则1 ≤a ＜2，所以，a的取值范围是[0,2].

方法点睛本题适合用含参讨论法.我们常常遇到这样的情形，参数并不好被分离出来，或者即使参数好分离，但被分离参数之后的函数很复杂且很难研究它的最值和单调性等性质，这时候就要尝试用含参讨论法去研究.本题就是参数不好被分离出来的典型，因为参数a的系数为x-1，而x-1 的正负符号不确定，从而考虑使用含参讨论法，利用导数性质，结合分类讨论思想就能求出a的取值范围.

四、反馈训练，巩固提高

1.(2019 广东二模) 若函数f(x)=x3-kex在区间(0,+∞)上单调递减，则k的取值范围是( )

A.[0,+∞) B.C.D.

2.(2014 新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x) 存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )

A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

3.(2019 广东一模) 已知函数f(x)=(kx -2)lnx，g(x)=2 lnx-x，若f(x)＜g(x)在(1,+∞)上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为( )

4.已知函数f(x)=ex-ex+a与g(x)=lnx+的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为( )

A.[-e,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-e]

5.(2019 广州二模)已知函数f(x)=lnx-(k ∈R)，若函数f(x)有两个零点x1,x2，求k的取值范围.

6.(2019 广州一模)已知函数f(x)=e2x-ax2,a ∈R，若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围.

7.(2020 广州二模)已知函数f(x)=lnx-sⅰnx，记f(x)导函数为f′(x)，若h(x)=ax+-f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围.

五、教学反思，延伸思考

导数的应用是高考考查的重点也是难点，是高三复习的重要内容，其中的求解含参数取值范围的问题是考查学生综合素养的重要载体，备受命题者青睐.这类试题中蕴含着函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法，体现了数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题知识点多，把方程、函数、不等式、几何等内容联系起来;试题综合性强，在知识点的交会处命题，体现了很好的区分度和选拔功能.教师要引导学生灵活选择适当的方法求解，不断提高学生的解题能力，提升学生的数学核心素养.教师更要深挖教材和加强对试题的研究，提高自身的专业知识素养，更好地开展中学数学教学.