极限思想在几何解题中的运用

华南师范大学数学科学学院(510000) 林燕玲

著名数学家、教育家波利亚曾指出:“对于任何一门学科，我们要掌握两方面的东西——知识和技巧.”对于数学学科而言，知识包括数学概念、定理、命题、公式法则等，技巧是指反映内容本质的数学思想方法.随着课程改革的不断深入，我国中学数学的教学任务也由传授学科知识过渡到培养核心素养，培养核心素养的一条途径是在数学教学中有目的、有意识地渗透数学思想方法[1].

极限思想作为数学思想方法的重要“成员”，能让我们从有限发展到无限、在相似中掌握准确、从特殊认识一般.高中数学的很多几何内容都渗透着极限思想，比如切线和割线、渐近线等概念以及球的体积和表面积公式的推导.在几何解题中，若图形中有不确定的因素，则可以考虑从分析这些不确定的因素入手，从趋近性角度来洞察问题中点、线、面的极端状态，从而实现估算与精算的结合，使问题迎刃而解.下面将从趋近性角度出发，探究极限思想在几何解题中的运用.

1 考虑点的极限位置

例1如图1，O为线段A0A2013外一点，若A0,A1,A2,··· ,A2013中任意相邻两点 的 距 离相等，设用a,b表示的结果为( ).

A.1006(a+b) B.1007(a+b) C.2012(a+b) D.2014(a+b)

分析此题是一道选择题，解法较多，但如果考虑点A2013的极限位置，则可以有效降低运算量，快速锁定正确选项.具体过程为: 当点A2013趋近于点A0时，b趋近于a，点A1,A2,··· ,A2012都 趋 近于点A0，则所 以因此由排除法可知选B.

图1

点评从点A2013的极限位置着手，令其无限逼近点A0，从而迅速排除选项，解法高效又新颖.

例2在ΔABC中，角A,B,C的对边分为a,b,c，若c-a等于边b上的高h，那么的值为( ).

A.-1 B.C.D.1

分析因为c - a等于边b上的高h，所以可以考虑ΔABC顶点B的极限位置: 令顶点B趋近于其在边b上的投影，由于当h →0 时，c →a，则B →180◦，A →0◦，C →0◦，此时故选D.

点评本题为客观题，应用极限的思想有利于简化讨论过程，达到事半功倍的效果.当然也可以用常规方法求解，但需要熟悉并能灵活使用三角公式.

例 3如图 2，正三棱锥P - ABC的底面边长为 2a，点E,F,G,H分别是PA,PB,BC,AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是( ).

图2

A.(0,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞)

分析正三棱锥的对棱相互垂直，再根据三角形中位线的几何性质可推出，四边形EFGH是一个矩形，所以其面积则S的大小取决于|PC|的大小.考虑顶点P的两种极端状态:当顶点P无限趋近于ΔABC的中心时，且得四边形EFGH面积且; 当顶点P无限远离ΔABC的中心时，|PC|→+∞，则S →+∞.故选B.

点评本题中棱锥的高不定，故可将顶点P看成是运动变化的，运用极限思想考查顶点P的极限情况，优化解题思路，从而解决问题.

2 考虑线的极限位置

例4如图3，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB// 平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积取值范围是____.

图3

分析运用极限思想，考虑棱AB转动过程中棱CD的两种极限情况:CD//平面α时，正四面体ABCD在平面α上的射影是: 对角线互相垂直且长度都为1 的四边形，其面积是CD⊥平面α时，正四面体ABCD在平面α上的射影即为与平面α成的夹角且边长为1的正三角形在平面α上的射影，其面积为故正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积取值范围是

点评在运用极限思想解决几何问题时，可以考虑线的极限位置特征，如与已知直线平行或垂直，从而发现解题思路，验证猜想.

例5如图4，圆C:x2+y2=4 与y轴相交于点M,N，直线l:y=kx+3 与圆相交于两点A,B，直线AN与直线BM相交于点P.证明: 当k变化时，点P必在一条定直线上.

图4

分析由已知得，M(0,2)，N(0,-2)，设A(x1,y1)，B(x2,y2).将y=kx+3 代 入x2+y2=4，得(1+k2)x2+6kx+5=0，则

可得直线AN,BM的方程分别为y=联立这两个方程，并将y1=kx1+3，y2=kx2+3 代入化简可得点P坐标为

观察可知，此时无法通过将x1+x2=代入点P坐标来求出点P的轨迹方程，解题遇到了困难! 解决困难的一条途径是从几何角度来观察发现: 直线l的极限位置是圆C的切线，由圆的性质易求出两个切点的纵坐标为因此点P所在定直线为只需证明证明如下:

点评轨迹问题中的定直线问题是一类综合性较强的问题，若能够先求出这条定直线，就能将“求”转化为“证”.怎样求出这条定直线呢? 如果问题中涉及到的概念与极限概念有关，那么我们可以考虑用极限的思想去处理.例如，曲线在某一点处的切线就是由割线无限逼近定义的，这是一种极限定义法，因此，某些与曲线割线有关的问题可以先从曲线的切线着手去求出这条定直线.

3 考虑面的极限位置

例6一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法: ①单向倾斜; ②双向倾斜; 3○四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3.

图5

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( ).

A.P3＞P2＞P1B.P3＞P2=P1

C.P3=P2＞P1D.P3=P2=P1

分析根据射影面面积公式S顶=可得P3=P2=P1.而若考虑屋顶倾斜角度α的极限状态，当α →0 时，则屋顶面积趋向于底面面积，亦可以快速求得P3=P2=P1.

点评本题在运用极限思想时，考虑屋顶的极限位置-——令屋顶斜面与水平面所成角度趋向于0，可以得到正确结论.

例7[2]如图6，圆台上、下底面的半径是r和R，作平行于底面的平面将圆台分成两部分且上面圆台和下面圆台的体积比为则截面圆的半径为( ).

图6

分析本题是选择题，为了降低计算量，提高解题速度，可对n赋予特殊值1.若用传统方法求解，则需要将圆台填补为圆锥，再利用平面几何关于相似的知识、圆锥的体积公式才能求解，运算量大且繁.若考虑圆台上底面的极限位置——使上底半径趋于0，则圆台趋近于圆锥，从而与均趋近于，显然不满足已知条件“上面圆台和下面圆台的体积比为1:1”，而此时趋近于0，也不满足上述条件.排除选项后，本题选D.

点评在极限思想的指导下，本题的一种有效做法是探究圆台上底面的极限位置，令其半径大小趋于0，圆台趋于圆锥，从而顺利排除选项A、B、C.

极限思想是一种基本、重要的数学思想，不仅在几何解题中发挥着事半功倍的作用，同时也被广泛应用于解决函数、概率、不等式方面的问题.在教学中有目的有意识地向学生渗透极限思想，将有助于提高学生处理数学问题(尤其是选填题)的效率，培养学生多角度分析问题的能力和创新意识.