数学通报2442问题的解法探究

广东省深圳中学(518001) 邱际春

《数学通报》2018年8 月问题2442[1]摘录如下:

问题2442已知a,b,c为正实数，且ab+bc+ca=1，试证明:

文[1]提出了一个简洁优美的条件不等式，问题提供者安振平老师在《数学通报》2018年第9 期中利用不等式的性质进行放缩处理来证明.文[2]通过题设条件转化成三角余弦不等式，然后借助嵌入不等式巧妙证明了这一问题.笔者根据不等式的结构特征，从不同视角探究得到另外的几种证明方法.

视角一 利用代数性质进行证明

分析考虑到三元条件不等式，可借助条件代入消元，再通分转化，结合配方法来解决.

证法1由条件等式ab+bc+ca=1，解出于是

故

最后一行的不等式显然成立.当2ab -1=0,a=b，而ab+bc+ca=1，即a=b=时，等号成立.

视角二 借助三角函数的性质进行证明

分析注意到三元条件不等式与三角余切恒等式在形式上是一致的，可借助条件转化成三角函数，利用其有界性来解决.

证法2令a=cotA,b=cotB,c=cotC，其中A+B+C=π，则由条件等式ab+bc+ca=1 可得，cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1，于是

评注若考虑令其中A+B+C=π.借助三角恒等式

及tanA+tanB+tanC=tanAtanCtanC，结合配方法即可证明之.

视角三 巧用不等式的性质和技巧证明

分析注意到三元条件不等式通分后分子分母是齐次的，故可尝试运用不等式及拆项、添项技巧来化解.

证法3由条件等式ab+bc+ca=1，可得

等价于要证

由AM-GM 不等式可得

故a2b+ab2+b2c+a2c+4bc2+4ac2≥10abc.当a=b=2c，而ab+bc+ca=1，即a=b=时，等号成立.

视角四 构造拉格朗日函数进行证明

分析考虑到三元条件不等式的特征，可通过构造拉格朗日函数转化为极值问题来处理.

证法4由条件等式ab+bc+ca=1，可得

故等价于要证:a+b+4c≥16abc.

令f(a,b,c)=a+b+4c-16abc，则拉格朗日函数为

其中λ为参数.于是

令上述一阶偏导数等于零，有

解方程组可得驻点P(a,b,c)=此即为唯一的极小值点，代入得

故a2b+ab2+b2c+a2c+4bc2+4ac2≥10abc，当a=b=时，等号成立.

结语这是一道“脍炙人口”而又常规性的条件不等式问题，从不同的角度可以得到不同的解法.就像庐山，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，只有不断尝试从不同的角度去思考问题，才能在解题过程中发现新方法、新观点和新问题，达到更广阔、自由的境界.