平面体系几何组成分析的规则和技巧

史阳光，刘 磊

(伊犁师范大学 物理科学与技术学院，新疆 伊宁 835000)

平面体系的机动分析是判断体系是否几何不变,能否作为工程结构使用[1]；学生掌握的好坏，影响着后续内容结构内力的计算；但是平面体系千变万化，机动分析中概念多，技巧性强[2-4]。这一章节对于没有接触实际工程的学生来说，学习时往往感到无从下手，逐渐失去学习的积极性。结合教学经验，并结合相关例题进行分析，为学生提供一种有章可循的分析技巧。

1 几何不变体系的组成规则

在分析几何体系时，常用到有3个规则。

1.1 3刚片规则

3个刚片用3个铰两两相联，且3铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。这个规则讲解时必须给学生强调：3铰不在1条直线上，若3铰共线则为瞬变体系。3铰可以是实铰也可以是虚铰，但刚片必须用铰两两相联。如图1所示，3个刚片虽有3个铰相联，但铰0不是联系刚片2、3或者刚片1、3的铰，不能用3刚片规则进行分析判定。

1.2 2刚片规则及推论

2个刚片用1个铰和1根不经过此铰的链杆相联，组成几何不变体系。或3个刚片用3根不全平行也不相交于1点3根链杆相联，构成无多余约束的几何不变体系[5]。如图2所示，1、3刚片用13杆和铰连结形成扩大刚片后与刚片2同样用1根链杆和1个铰相连，组成几何不变体系。

1.3 2元体规则

在1个体系上增加2元体，不会改变原有体系的几何构造性质。2元体形式多样。图3均可看成2元体。

2 多角度看待体系

3个规则讲解后，教师要循序渐进，为分析复杂体系做准备。如图4所示简支梁。2刚片规则分析：梁AB看成一个刚片，地基看成1个刚片，用1、2、3三根不全平行也不交于1点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系；用2元体规则分析：地基看成1个刚片依次增加2元体23A、AB1；组成无多余约束的几何不变体系。用3刚片规则分析：链杆1、梁AB、基础均看成刚片，3刚片用3个铰两两相连，构成几何不变体系。看似简单的简支梁，从不同的角度去分析，其结果都一样；这样可以让学生多角度去看待问题，加深学生对规则的理解和应用。

3 机动分析模式及算例

3.1 观察地基与平面体系的联接

若地基与体系用3根既不全平行也不相交于1点的链杆相联，已满足2刚片规则，则可去除支座链杆和地基，只分析体系内部是否几何可变(如图5所示)。去除支座链杆后，只分析上部体系，根据2元体规则逐渐形成两个扩大的刚片I、II，2个刚片用链杆AB和铰0相连，组成无多余约束的几何不变体系。

3.2 观察体系中是否有2元体

增减2元体对几何体系的不变性没有影响，去除2元体时，从体系的最外侧开始去除，增加2元体时必须在已经确定几何不变的基础上进行增加。图6所示，体系中有2元体，依次去除2元体123、534、756、978、A86、B46、A6B，最后只剩下基础，判定为无多余约束的几何不变体系；也可在基础上依次增加2元体A6B、A86、B46、978、756、534、123。判定结果同样为无多与约束的几何不变体系。图7依次去除2元体DAC、EBC、DCE、GDF、HEF、GFH，判定为几何不变体系。

3.3 巧用三角形

三角形本身为几何不变，可以看成刚片。如图8所示，三角形可以看成1个刚片，用链杆23、56、14相连，符合2刚片规则，无多余约束的几何不变体系。也可以利用3刚片规则链杆12、56、34看成刚片，增加2元体251、364形成2个扩大的三角形刚片，每2个刚片用两根链杆形成1个实铰5、6，以及虚铰0，3铰不共线，为几何不变体系。

图9中，去除支座链杆与地基，△ABC看成刚片，增加2元体ADC、CEB形成扩大刚片I，△DGF、△EFH，看成刚片II、III，3个刚片用3个铰D、E、F相联，组成无多余约束的几何不变体系。

3.4 顺藤摸瓜 巧用链杆

当上部体系与基础用多于3根的链杆相联时，首先考虑用扩大刚片的方式，运用用2刚片规进行判定。基础必须看成1个刚片(如图10)。地基看成1个刚片，与刚片II形成扩大刚片，与刚片III用2刚片规则，再次形成扩大刚片，与刚片I再用两刚片规则，组成几何不变体系。4根支座链杆与基础相连，则基础看成1个刚片，如果在基础上无法增加2元体形成扩大刚片，此时需要考虑3刚片规则(图11所示)。首先，去2元体EFG、BHG。若把三角形EDC、三角形CBA看成两个刚片，这两个三角形用铰C相联，地基与任意三角形联接都不符合3刚片规则，必须另辟蹊径，可以观察到与地基直接相连的有DE、DC支座链杆1、2这4根链杆看成“藤”，只需找到与地基相联的2个“瓜”，支座链杆2与DE同时联接EG，EG就是要找的其中1个刚片，DC和支座链杆1与三角形ABC相联三角形ABC就是要找的刚片。至此3个刚片就全部找到了，符合3刚片规则，组成无多与约束的几何不变体系。图12所示，地基用5根支座链杆与体系相联，从地基出发无法增加2元体形成扩大刚片，所以2刚片规则行不通；若把三角形ABD、ACF看成刚片，与地基相联无法用3刚片规则。仔细观察发现与地基相联的杆件有DB、DA、支座链杆1、2。按照顺藤摸瓜可以找到刚片BE和ACF，与地基可以用3刚片规则分析，无多余约束的几何不变体系。

综上所述：分析时可以在已知不变的体系上去除2元体，简化体系。或增加2元体形成扩大刚片。看支座链杆与地基的链接数目，等于3根去除地基和支座链杆，只分析体系本身，大于3根，用2刚片规则形成扩大刚片或3刚片规则，处地基外在寻找2个刚片。还可以计算自由度。如果W>0,必为几何可变体系。W≤0，用3个规则进行分析。

4 结语

几何体系机动性分析时，利用3个规则及分析技巧，有助于学生快速理解掌握本章节内容，做到有的放矢，快速解题，通过此方法的应用，为学生提供一种新的技巧。