算子几何-算术平均值不等式的推广

宋 园

（滁州职业技术学院，安徽滁州 239000）

1 引言

用B（H）表示可分Hilbert空间H上所有线性算子生成的代数.设自伴算子A∈B（H），如果对于任意给定的x∈H，都有（Ax，x）≥0，则 A 称为是正的.设 A，B∈B（H）且 A，B 为自伴算子，B-A≥0表示 B-A 为正算子，记为B≥A，BA＞0表示B-A为可逆正算子，记为B＞A.

设A，B为可逆正算子，定义A，B的几何均值A#B和相对算子熵为S（A|B）分别为[1-3]：

设 a，b＞0，众所周知，有

这是著名的几何-算术平均值不等式.这个不等式在有界线性算子所组成的非交换代数上的形式如下[3]：设A，B为可逆正算子，则

最近，Zou和Jiang在文献[4]中得到了不等式（1）的一个改进：

其中

关于不等式（2）的一些应用和变形可参见文献[5，6].本文将给出不等式（2）的一个推广.

2 主要结果

这里将给出本文的主要结果及其证明过程，为了得到结果，需要如下的引理.

引理 2.1[7]设 a，b＞0，当 0≤x≤1 时，

对于一般的正算子B，可令B=B+εI，重复上面的过程，然后再令ε趋于零.这就完成了证明.

注2.1 假设A为可逆正算子，令C=A1/2，由定理2.2可得不等式（2），所以定理2.2是不等式（2）的一个推广.