基于HPM视角，促进深度学习

邓芸芸

摘  要：HPM指“数学史与数学教育”。借助数学史的相关内容，教师可以创设真实复杂的情境，强化情感驱动，在引导学生解决具有挑战性问题的过程中，促进他们持续建构数学知識体系，培养高阶思维，理解数学学科的核心思想方法，感悟数学的理性精神，实现深度学习。

关键词：深度学习;小学数学;数学史

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），指“数学史与数学教育”，主要研究通过数学史提高数学教育的水平，借助数学史寻找数学教育的规律和经验，把数学知识的历史形态加工成便于教学的教育形态。深度学习是指在复杂真实的情境中，运用跨学科的知识技能，借助常规和非常规的思维方式解决问题，发展批判思维和创新能力，培养合作精神和交往能力的认知策略。借助数学史的相关内容，教师可以创设真实复杂的情境，强化情感驱动，在引导学生解决具有挑战性问题的过程中，促进他们持续建构数学知识体系，培养高阶思维，理解数学学科的核心思想方法，感悟数学的理性精神，实现深度学习。

一、创设情境，强化情感驱动

深度学习倡导学习者的主动性，强调学习者的主动投入，并保持积极的情感状态。布鲁纳也曾指出，学习动机必须尽可能建立在唤起对所学内容的兴趣的基础上。数学史上的许多趣题，是绝佳的教学素材，运用这些素材创设真实而复杂的情境，能有效地促进儿童综合运用各种知识技能，主动探究，让深度学习真正发生。

师：大家听说过阿拉伯数字吗？阿拉伯数字是谁发明的呢？

生：我们平时写的就是阿拉伯数字。应该是阿拉伯人发明的吧？

师：这是一个误会，阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的，而是古印度人发明的，不过是阿拉伯人把它们传到了欧洲，人们就以为是阿拉伯人发明的。

生：哦，原来是这样。

师：把阿拉伯数字介绍到欧洲的是中世纪著名的数学家斐波那契。1202年，他出版了著名的《算盘书》。在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字。

师：在这本书里他提出了一个有趣的兔子问题。假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成一对大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且以后每个月都生一对小兔。假定这些兔子一年内没有发生任何死亡。那么，12个月后会有多少对兔子呢？

生：这个问题不简单，但听上去很好玩。

师：这个问题古往今来引起了很多研究者的兴趣，而且这其中还蕴藏着很多数学秘密。今天我们一起来研究，好吗？

问题是激起学生思维的地方根源，是驱动学生积极思考的诱因。以上问题来自数学史上的名著，是有名的数学家研究过的，情境真实有趣又富有挑战性，学生的兴趣被迅速地调动了起来，他们跃跃欲试，准备投入到问题的探究中去。

二、自主探索，参与知识生成

体验和探究是深度学习必经之路，是核心素养形成的根本途径。师生应以真实而富有挑战的问题为核心，以探究为主要方式，通过个人、集体等多种形式，开展讨论、质疑、表达等学习活动解决数学问题，在参与知识的形成中，发现数学规律，积累数学经验，感悟数学思想，从而有效地实现深度学习。

师：这个问题，跟我们以前接触过的问题相比，怎么样？

生：有点复杂，条件特别多，有点难。

师：面对一个困难的问题，怎么办呢？我们就放弃吗？

生：不能放弃，要想办法。

师：有什么办法呢？道家的创始人、中国古代著名哲学家老子说过一句话：“天下难事，必作于易。”知道是什么意思吗？

生：遇到一件难的事，咱们要想办法把它转化为一件更容易的事来做。

师：那这件事做起来的话，从第1个月到12个月，你觉得是前几个月研究起来比较容易呢，还是后几个月研究起来比较容易？

生：前几个月。

师：那咱们就从前几个月开始研究。每个人可以用自己的方法来研究，可以算一算，也可以画一画，也可以列举。

师（几分钟后）：大家虽然都独立思考得非常努力，但仍然还没研究完。虽然“天下难事，必作于易”，但是这个问题对于我们来说，还不是那么容易，咱们光靠个人的智慧不够，就要怎么样？

生：要靠集体的智慧。

师：那我们就一起来研究。

师：第一个月有多少对兔子？

生：一对小兔子。

师：第二个月呢？一对大兔子是怎么来的？画一画。

生：第一个月的小兔子长大了。

师：第三个月呢？怎么来的？画一画。

生：第三个月有了一对大兔子还有一对小兔子。

师：这对大兔子和这对小兔子是怎么来的？

生：大兔子就是原来的大兔子，小兔子就是这对大兔子生下的小兔子。

师：第四个月呢？第五个月呢？……

参与探究的过程，学生不仅理解了每一个月兔子的来历和数量，使得思维的清晰性、条理性得到了锻炼，同时在此过程中还收获了探究的策略、化繁为简的思想以及合作的意识。他们体验到了探索、创造的乐趣，对学习的内容也会产生更持久、深沉的兴趣。

三、深度思辨，渗透思想方法

美国教育家布鲁姆将思维过程具体化为记忆、理解、应用、分析、评价、创造，其中前三者通常被称为低阶思维，后三者通常被称为高阶思维。与浅层学习不同，深度学习必然指向高阶思维，突出培养思维的综合性、批判性、创新性，强调思辨性。在教学中，我们应以发展学生的高阶思维为目标，注重数学学科的核心思想方法的渗透。

师：对照图，仔细想一想，每个月兔子的对数和前面有什么联系？

生：大兔子的对数就是前一个月兔子的总数，小兔子的对数就是前一个月大兔子的对数。

师：要一直说到，画到12月份吗？

生：不需要，根据前几个月的情况可以找到其中的规律。

师：前6个月是1，1，2，3，5，8，后面是多少呢？你是怎么知道的呢？

生：就是前两个数相加等于后一个数。

师：想一想，为什么有这个规律？

生：因为不管哪个月大兔子的对数就是前一个月兔子的总数，小兔子的对数就是前一个月大兔子的对数，把大兔子和小兔子合起来就是这个月兔子的总数，所以只要把前两个月的兔子合起来就是这个月的兔子的数量，也就是把前两个数相加就得后一个数。

师：怎么觉得后面的填起来反而容易了？

生：因为运用了前面发现的规律。

师：刚才我们在比较简单的部分发现了规律（板书：发现规律），在难的部分运用规律解决了问题（板书：运用规律）。看来难和易是相对的，是可以互相转化的，是辩证的统一。

以上教学过程中，学生通过比较、分析、综合、归纳，透过表面现象，深入到了本质和规律的层面，揭示了规律背后的原理，掌握了以简驭繁的数学思想方法。他们还感悟到难、易的辩证关系，体验了哲学的思辨性，思维品质得到了有力的提升。

四、触及心灵，感悟理性精神

深度学习提倡学科间和跨学科的整合性学习，强调多维度、系统性的认知参与，注重多种信息的连接和学科间的融合。数学学科具有抽象、严谨的特性，但是作为人类的文明，数学也具有人文性。在数学教学中，借助数学史把数学内容与其他学科的知识相融合，不仅能让学生体会到数学的价值，还可以让数学变得更有温度，更能触及儿童的心灵，更能让他们感受到数学的魅力，让他们热爱并深刻理解数学。

师：生活中还有很多地方也藏着斐波那契數列，大家相信吗？（出示海螺图）这些海螺，都有一个弯弯的壳，而且壳上都有线，叫螺线。

这样的线大体上可以描绘成这个样子。

这个螺线和斐波那契数列有什么关系呢？

生：这个螺线就是借助以斐波那契数列为边长的正方形画出来的！真是太神奇了！

师：他们跟兔子商量了吗？跟斐波那契商量了吗？

生：（笑起来）肯定没有商量。

师：是谁让他们都有这样的规律啊？

生：是大自然。

师：其实植物当中也有，很多植物的花瓣数都是斐波那契数（出示各种花朵）：兰花、苹果花、雏菊……还有一棵数每一年的树丫的数量。

师：这些动物、植物生长得这么有规律，究竟是什么的力量？

生：（被深深地震撼了）是大自然！

师：（出示“天地有大美而不言，万物有成理而不说。——庄子”）你有什么感受？

生：大自然真是太神奇了！

生：大自然中到处都藏着数学。

师：是啊！天地之间蕴藏着一种无言的美和深刻的规律。我们的数学世界也是这样。

师：我们要怎么对待大自然呢？

生：我们要敬畏大自然、保护大自然。

师：很多艺术家也感受到了斐波那契数列的神奇，把它也用到了自己的艺术创作中，比如美术、音乐、建筑等领域，我们一起来欣赏吧。

数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美。以上教学过程中，我们着力引导学生发现数学的奇异美，感受大自然内在的数学秩序。数学思想方法的伟大和魅力深深地触及了学生的心灵。学生为数学的理性精神所折服，对数学的热爱和探索的愿望油然而生，他们也必然会产生要将数学作为一种人类的文明传承和发展下去的深沉的情感。