考虑空间变异性的框架结构可靠度分析方法

刘敬敏， 杨绿峰， 余 波*

(1.广西科技大学 土木建筑工程学院，柳州 545006；2.广西大学 土木建筑工程学院，工程防灾与结构安全教育部重点实验室，广西防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁 530004)

1 引 言

结构可靠度分析对于工程结构的设计和概率安全性评估具有重要意义。近年来，框架结构的可靠度分析得到国内外学者的广泛关注。其中，文献[1]利用非线性有限元法开展了框架结构的可靠度分析；文献[2]研究了按照加拿大建筑规范设计的钢框架结构的可靠度；文献[3]基于随机有限元的梯度优化法，研究了荷载和截面惯性矩等参数为随机变量时的框架结构可靠度；文献[4]通过现场测量获取了钢筋混凝土框架结构的几何尺寸和材料参数的施工误差统计信息，进而采用验算点法计算了框架结构的可靠度；文献[5]利用基于一次可靠度的有限元方法分析了框架结构的可靠度；文献[6,7]采用响应面法计算了框架结构的可靠度。需要说明的是，上述研究成果都将结构的材料参数描述为随机变量，而忽略了材料参数空间变异性的影响。然而，由于材料制备、施工技术和腐蚀缺陷等因素的影响，结构的材料参数通常具有显著的空间变异性[8-19]。文献[8]利用随机有限元法分析了弹性模量具有随机性的钢框架结构的可靠度，采用中点法离散随机场，导致适用性和计算精度难以保证。通过分析发现，目前国内外传统的随机场离散方法主要局限于一维杆系单元[9]、二维平面单元[10,11]或三维实体单元[12-14]，而缺少一种针对由杆系单元组成的平面框架随机场的有效离散方法，所以无法有效分析材料参数空间变异性对框架结构可靠度的影响[9,10]。

本文结合随机场离散的局部平均理论和随机响应分析的摄动随机有限元法，提出了一种能够有效考虑材料参数空间变异性的框架结构可靠度分析方法，进而定量分析了材料参数空间变异性(如随机场的相关结构类型、相关偏度和变异性等)对框架结构可靠度的影响规律。

2 空间变异性的随机场模型及离散

采用平面内广义平稳且均匀的随机场来模拟框架结构的材料参数、几何尺寸和外荷载等因素在空间分布上的变异性。以图1(a)所示门式刚架为例，将任一个单元(假定平面内长度为Li的线性单元i或长度为Lj的线性单元j)模拟为平面内广义平稳且均匀的M维随机场R(x,y,θ)，其中x和y为随机场的平面坐标，θ为随机场的随机特性参数。已知随机场的均值和方差分别为

μR= [μ1,μ2,…,μM]T

(1)

(2)

2.1 随机场的局部平均离散技术

(i= 1,2,…,N)(3)

(i= 1,2,…,N;r= 1,2,…,M)(4)

(5)

(6,7)

图1 平面内任意分布的线性单元i和j

工程中比较常用的随机场相关结构类型包括三角型(T)、指数型(EXP)、二阶AR型(AR)和高斯型(G)等，对应的相关函数和方差函数分别为[20]

(1) 三角型

(8)

(9)

式中θr为局部平均法的相关偏度。

(2) 指数型

(10)

(11)

(3) 二阶AR型

(12)

γr(Li) = (θr/2Li){2+exp(-4Li/θr)-

[3θr/(4Li)][1-exp(-4Li/θr)]}

(13)

(4) 高斯型

(14)

(15)

式中erf( · )为误差函数。

2.2 互相关函数与协方差矩阵

(16)

将ds=dxi/cosα和dl=dxj/cosβ代入式(16)可得

(17)

(18)

当单元j平行于y轴时，将ds= dxi/cosα和dl= dyj代入式(16)可得

(19)

当单元i和j都平行于y轴时，将ds= dyi和dl= dyj代入式(16)可得

(20)

(21)

式中σr和σs分别为随机场第r和第s分量的点标准差。

3 空间变异性结构的可靠度分析

在独立标准正态空间内，结构可靠指标β等于原点到极限状态面的最短距离，即

(22)

且功能函数满足

G(ξ*) = 0

(23)

ξ(k +1)=ξ(k)+s(k)d(k)

(24)

式中上标k和k+1表示迭代步，s(k)为移动步长，可以通过使式(25)所定义的价值函数取最小值来确定[21]

(25)

(26)

(27)

3.1 正态相关随机变量的处理

假设利用局部平均法将随机场离散为一组具有相关性的正态随机向量x= [x1,x2,…,xn]T，其中n=M×N为随机变量总数，M为随机场维数，N为随机场单元离散数。为了进行可靠度计算，需要将x变换为独立标准正态分布随机向量ξ[22]，两者之间的关系如下，

ξ=TATx+B

(28)

对式(28)进行逆变换有

x=AT-1(ξ-B)

(29)

由此可以得到从随机向量x变换到随机向量ξ的雅克比矩阵Jx,ξ为

Jx,ξ=AT-1

(30)

3.2 结构功能函数的梯度计算

已知原变量空间中的功能函数g(x)，根据ξ和x之间的关系，可以确定梯度向量G(ξ)和g(x)之间存在以下关系。

(31)

功能函数g(x)通常可以由广义抗力R和广义荷载效应S表示为

g(x) =g(R,S)

(32)

由于R和S都是x的函数，所以梯度向量g(x)为

g(x) =JRgR(R,S)+JSgS(R,S)

(33)

根据摄动随机有限元法的控制方程可以求出结构的结点位移向量的均值和协方差分别为[18,19]

(34，35)

其中

(36，37)

当利用节点位移来建立结构的功能函数时，JS= ∂S/∂x可以由式(37)计算，从而可以利用式(31,33)计算功能函数梯度向量，进而可以根据式(22～27)计算结构可靠指标。考虑空间变异性的框架结构可靠度分析方法的计算流程如图2所示。

图2 本文方法计算流程

4 对比分析与验证

4.1 门式刚架

图3 平面刚架的计算简图

4.1.1 相关结构类型和单元划分数的影响

以随机场的相关偏度θr=3.0 m，变异系数δ= 0.1为例，分析单元划分数和随机场的相关结构类型对框架结构可靠指标的影响，计算结果列入表1，其中εPM表示MCS与本文方法的相对误差。可靠指标随单元划分数的收敛趋势如图4所示。为了兼顾MCS的计算精度和计算效率，分析了抽样次数对可靠指标计算结果的影响，将MCS的抽样次数选取为10万次。

表1 不同相关结构类型和单元划分数情况下的可靠指标

图4 单元划分数对可靠指标收敛性的影响

由表1可知，(1) 当单元划分数不同时，由本文方法与MCS计算得到的可靠指标之间的相对误差均控制在3.5%以内，说明本文方法的计算精度较高；(2) 当单元划分数相同时，随机场相关结构类型为T，EXP，AR和G时的可靠指标相差不大，符合局部平均法对相关结构类型不敏感的特点。此外，从图4可以看出，当相关结构类型相同时，结构可靠指标随着单元划分数的增大而逐渐收敛；当单元划分数不少于12时，计算结果基本收敛，与文献[23]在边坡稳定可靠性中有关局部平均法随机场单元划分的结论基本吻合。

4.1.2 相关偏度的影响

以单元划分数为12，变异系数δ= 0.1为例，分析随机场的相关偏度对结构可靠指标的影响，计算结果列入表2，可靠指标随相关偏度的变化趋势如图5所示。由表2可知，当相关偏度取不同值时，本文方法与MCS所得可靠指标的相对误差均控制在3.1%以内，再次说明本文方法的计算精度较高。从图5可以看出，当相关结构类型相同时，结构可靠指标随着随机场相关偏度的增大而降低，说明相关偏度的大小对结构可靠度有较大影响，与文献[24]有关曲边单元局部平均法的研究结论一致。

表2 不同相关结构类型和相关偏度情况下的可靠指标

4.1.3 变异性的影响

以单元划分数为12，随机场的相关偏度θr=3.0 m为例，分析随机场的变异性对结构可靠指标的影响，计算结果列入表3，可靠指标与变异系数的变化趋势如图6所示。由表3可知，本文方法与MCS的相对误差随着变异系数的增大而增大，当δ≤0.15时，相对误差控制在5.2%以内；当δ>0.15时，相对误差较大，主要原因在于摄动展开技术只适于小变异分析。此外，从图6可以看出，当相关结构类型相同时，结构可靠指标随着随机场变异系数的增大而降低，说明变异系数的大小对结构可靠度有较大影响。

4.1.4 计算效率对比

通过以上对比分析可知，本文方法与MCS的计算结果相吻合，说明本文方法具有较好的计算精度。取单元划分数为12，变异系数δ= 0.1，相关结构类型为T时的可靠度计算为例，相关偏度分别取1.5 m，4.5 m和7.5 m时，本文方法和MCS 的计算效率对比列入表4。可以看出，MCS按照统计方法计算失效概率，虽然不需要进行可靠度迭代计算，但是需进行大量抽样且每一组样本都要进行一次有限元分析计算。 此外，可靠指标越大，MCS所需的抽样次数越多，计算耗时越久。而本文方法仅需要进行1次有限元分析计算及4次左右可靠度迭代计算，计算耗时非常少且稳定。由 表4 结果可知，本文方法的计算耗时大概只需MCS的1/100，说明本文方法具有较高的计算效率。

图5 相关偏度对可靠指标的影响

表3 不同相关结构类型和变异系数情况下的可靠指标

4.2 三层三跨刚架

假设λe和λq的相关结构分别取三角型(T)、指数型(EXP)、二阶AR型(AR)及高斯型(G)，各随机场的相关偏度为θ1=θ2,分别取6.0 m,7.5 m和9.0 m时，利用本文方法和MCS计算的可靠指标结果列入表5。可以看出，对于三层三跨刚架结构，当相关偏度取不同值时，本文方法与MCS所得可靠指标的相对误差均控制在5%以内，说明本文方法具有较高的计算精度和较好的适用性。此外，结构可靠指标随着随机场相关偏度的增大而降低，再次说明相关偏度的大小对结构可靠度有较大影响。

图6 变异系数对可靠指标的影响

表4 不同方法的计算精度和计算效率的对比

图7 三层三跨刚架的计算简图

表5 不同相关结构类型和相关偏度情况下的可靠指标

5 结 论

结合随机场离散的局部平均理论和随机响应分析的摄动随机有限元法，提出了一种能够有效考虑参数空间变异性的框架结构可靠度分析方法，并定量分析了参数的空间变异性对框架结构可靠度的影响，结论如下。

(1) 随机场离散的局部平均理论对相关结构类型不敏感。

(2) 随机场相关偏度和变异性对框架结构可靠度影响较大，随着随机场相关偏度的增大或变异性的减小，框架结构的可靠指标逐渐增大。

(3) 所提出的考虑空间变异性的框架结构可靠度分析方法对于小变异(如变异系数δ≤0.15)情况下的框架结构可靠度分析有较好的适用性。

(4) 所提出的考虑空间变异性的框架结构可靠度分析方法的计算耗时大概只需MCS的1/100，具有较好的计算精度和计算效率。

(5) 基于本文方法，可以进一步开展灵敏度分析，从而遴选考虑空间变异性结构可靠指标的关键影响因素，为框架结构的设计提供科学依据。