由不等式ex≥x+1产生联想

安徽省太湖中学(246400) 李昭平 赵娟娟

恒成立不等式ex≥x+1(x ∈R)内涵丰富、结构精巧、应用广泛，许多高考题都有它的影子.下面是笔者对其分析、思考和研究的结果，供参考.

1.对ex ≥x+1 的证明

证法1(图象法)在同一坐标系下作出函数f(x)=ex和g(x)=x+1 的图象，两图象均经过定点(0,1)，且f′(0)=1，即直线g(x)=x+1 是曲线f(x)=ex在定点(0,1)处的切线，因此ex≥x+1(x ∈R，当且仅当x=0 时等号成立).

证法2(导数法)令f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1.显然f(x) 在(-∞,0) 内单减，在(0,+∞) 内单增，因此f(x)mⅰn=f(0).于是f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1(x ∈R)，当且仅当x=0 时等号成立.

2.对ex ≥x+1 的联想

联想1ex-x≥1，当x=0 时，(ex-x)mⅰn=1.

联想2lnx≤x-1(x ＞0)，当且仅当x=1 时等号成立.

简证在ex≥x+1 中，将x换为x-1 得，ex-1≥x，ln ex-1≥lnx，即lnx≤x-1(x ＞0)，当且仅当x=1 时等号成立.

联想3

由lnx≤x-1(x ＞0)易得，略去简证.

联想4ex≥ex，当且仅当x=1 时等号成立.

简证在ex≥x+1 中，将x换为x-1 得，ex-1≥x，ex-1·e≥ex，即ex≥ex，当且仅当x=1 时等号成立.

联想5lnx≤当且仅当x=e时等号成立.

简证在lnx≤x-1 中，将x换为当且仅当x=e时等号成立.

联想6

简证由ex≥x+1 得，ex -1 ≥x.当x ＞0 时，1;当x ＜0 时，

联想7eg(x)-lnh(x)≥g(x)-h(x)+2.

简 证由lnx≤x -1 得，lnh(x) ≤h(x)-1，即-lnh(x)≥-h(x)+1.

由ex≥x+1 得，eg(x)≥g(x)+1.

两个不等式相加得，eg(x)-lnh(x) ≥g(x)- h(x) +2(h(x)＞0)，当且仅当g(x)=0 和h(x)=1 同时成立时，取等号.

3.ex ≥x+1 和几个联想的应用

上述不等式ex≥x+1 和7 个联想的结构形式，在近些年来的高考和模考中常常出现.对于一些客观题，若能灵活运用，可以大大提高解题速度;对于一些主观题，有时能为解题提供思路和方向，有时又能切实解决问题.下面举例说明.

3.1 运用ex ≥x+1

例1(2019 三亚市模考题)若对任意实数x ＞0，不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立，求实数t的取值范围.

解析因为x ＞0，所以不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立等价于t≤即t≤而xe3x-lnx-1=elnx+3x-lnx-1.

由ex≥x+1(x ∈R) 知，elnx+3x≥lnx+3x+1，当且仅当lnx+3x=0 时等号成立，因此当且仅当lnx+3x=0(存在x)时取最小值3.于是t≤3，即实数t的取值范围是(-∞,3].

说明本题是将不等式ex≥x+1(x ∈R)中的x换为lnx+3x.若换x为f(x)，则可以一般化为ef(x)≥f(x)+1，扩大了应用范围.

3.2 运用(ex-x)mⅰn=1

例2(2020 合肥市模考题)已知不等式ex≥x+a-3对任意x ∈R 恒成立，则实数a的最大值是____

解析ex≥x+a -3 等价于a -3 ≤ex - x，即a-3 ≤(ex-x)mⅰn=1.因此a≤4.故a的最大值是4.

3.3 运用ln x ≤x-1(x ＞0)

例3(2019 海口市模考题)方程ln(x+2)=x+b在(-2,+∞)内有唯一实数根的充要条件是( )

A.b≤-1 B.b≥1 C.b=-1 D.b=1

解析由不等式lnx≤x-1(x ＞0) 得，ln(x+2) ≤x+2-1，当且仅当x+2=1，即x=-1 时取等号.因此ln(x+2)=x+b在(-2,+∞)内有唯一实数根的充要条件是x+b=x+2-1，即b=1.故选D.

说明本题是将不等式lnx≤x-1(x ＞0)中的x换为x+2.若换x为g(x)，则可以一般化为lng(x) ≤g(x)-1，扩大了应用范围.

例4(2020 济南市模考题)若函数f(x)=x(lnx-mx)只有一个极值点，则实数m的值是____

解析因为f′(x)=lnx-2mx+1，所以lnx=2mx-1有唯一正的实数根，即曲线y=lnx和直线y=2mx-1 在右半平面内有唯一交点.

由lnx≤x-1(x ＞0) 可知，直线y=x-1 为曲线y=lnx在(1,0)处的切线，因此2m=1,m=

3.4 运用 ＞1(0 ＜x ＜1)和 ＜1(x ＞1)

例5(2017年高考全国Ⅱ卷) 已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求实数a的值.

解析函数f(x) 的定义域是(0,+∞).因为f(x)=x(ax-a-lnx)，所以f(x)≥0 等价于ax-a-lnx≥0，即

lnx≤ax-a.

当x ＞1 时，a≥由于且因此a≥1.当0＜x ＜1 时，由于因此a≤1.当x=1 时，等号成立，a ∈R.

综上可知，实数a的值是1.

3.5 运用ex ≥ex

例6(2018 安庆市模考题)若函数f(x)=xlnk-ex有零点，则实数k的取值范围是( )

解析因为f(x)=xlnk -ex有零点，所以方程xlnk=ex有实数根.显然x=0 不是其根，因此lnk=因为ex≥ex，当x ＞0 时，lnk=解得k≥.当x ＜0 时，lnk=＜0，解得0＜k ＜1.因此实数k的取值范围是(0,1)∪[,+∞)，故选D.

3.6 运用＞1(x ＞0)和＜1(x ＜0)

例7(2018年高考全国Ⅲ卷)设函数f(x)=ex-ax-1，其中a ∈R.若f(x)≥0 在(-∞,+∞)内恒成立，求a的值.

解析f(x) ≥0 就是ax≤ex-1.当x=0 时，等号成立，a ∈R.当x ＞0 时，a≤由于＞1(x ＞0)且因此a≤1.当x ＜0 时，a≥由于因此a≥1.综上可知，实数a的值是1.

3.7 ln x ≤(x ＞0)和ex ≥ex 混用

例8(2018 南昌市模考题) 设a ∈R，函数f(x)=lnx-ax.

(Ⅰ)试讨论函数f(x)在定义域上的单调性;

(Ⅱ)证明: 对任意x ＞0，ex-e2lnx ＞0 恒成立.

解析(Ⅰ)当a≤0 时，f(x)在(0,+∞)内单增;当a ＞0时，f(x)在(0,)内单增，在(,+∞)内单减.过程略去.

(Ⅱ)因为lnx≤(x ＞0)，所以-e2lnx≥-e2·-ex，当且仅当x=e时等号成立.又因为ex≥ex(当且仅当x=1 时等号成立)，所以ex-e2lnx ＞ex+(-ex)，即对任意x ＞0，ex-e2lnx ＞0 恒成立.

例9(2014年高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)=aexlnx+曲线y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程是y=e(x-1)+2.

(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)证明:f(x)＞1(x ＞0).

解析(Ⅰ)a=1,b=2.过程略去.

(Ⅱ)f(x)＞1(x ＞0)就是exlnx+＞1(x ＞0).因为所以即于是

又因为ex≥ ex，所以当x ＞0 时，即当且仅当且x=1 时取等号，所以exlnx+中的等号不可能成立.故f(x)＞1(x ＞0).

3.8 运用eg(x)-ln h(x)≥g(x)-h(x)+2

例10(2020 漳州市模考题)若曲线f(x)=e3-2x与曲线φ(x)=ln(λ-2x)+1 有唯一公共点，则实数λ的值是

解析由题意知，问题转化为方程e3-2x=ln(λ-2x)+1有唯一实数根.由eg(x)-lnh(x) ≥g(x)- h(x)+2得，e3-2x -ln(λ -2x) ≥ (3-2x)-(λ -2x)+2，即e3-2x -ln(λ -2x) ≥5- λ，1 ≥5- λ，λ≥4.当且仅当3-2x=0 和λ-2x=1 同时成立时，取等号，即λ=4时取等号.故实数λ的值是4.

例11(2013 全国Ⅱ卷题) 设m ∈R 函数f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)设x=0 是f(x)的极值点，求实数m的值，并讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当m≤2 时，证明:f(x)＞0.

解析(Ⅰ)m=1，f(x)在(-1,0)内单减，在(0,+∞)内单增.过程略去.

(Ⅱ)由eg(x)-lnh(x)≥g(x)-h(x)+2 得，ex-ln(x+m) ≥x-(x+m)+2，即ex-ln(x+m) ≥2-m，当且仅当x+m=1 且x=0，即m=1 时等号成立.因为m≤2，

当m/=1 时，ex-ln(x+m)＞2-m≥0(x+m ＞0);当m=1 时，ex -ln(x+1)=2-m=1＞0(x+1＞0).因此当m≤2 时，有f(x)＞0 成立.

以上从不等式ex≥x+1 出发，通过联想、探究、推证获得7 个结论，并在恒成立不等式、能成立不等式、函数零点、方程的根、不等式的证明等问题的应用中，深化了对ex≥x+1及其联想的认识与理解.由此可见，不等式ex≥x+1 及其联想结论，拓宽了我们的解题路径，其核心是指数型不等式ex≥x+1 和对数型不等式lnx≤x-1(x ＞0)，解题的灵感来源于经验的积累和方法的感悟，让我们成为发现者.