以问促学，探究函数性质

梁舒尹

[摘 要]二次函数的性质是高中数学的重要内容.采用“问题导学”教学模式，研究二次函数的性质，能让学生的学习呈现螺旋式上升，能发展学生抽象的逻辑思维.

[关键词]问题导学;数形结合;二次函数;性质

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0014-02

一、深挖教材，精准解读

教材是众多专家集体智慧的结晶，经过长期的使用、修改而不断完善，日臻成熟.二次函数的性质，在内容上涉及的知识点初中大多已经接触并且学习过.因此，在备课时，怎样处理教材成为一个关键点.笔者认真研读教材，比照初中数学教材，切实把握高中数学教材对本节课内容的内涵及外延.在初中研究二次函数性质，都是从具体二次函數的图像中直接归纳得到的.比如，开口方向、对称轴表达式、顶点坐标、函数增减性等.这样的教学方式符合初中学生的认知水平，让二次函数性质的学习更为直观、具体，学生能够对二次函数性质有个很好的初步认识.但是从数学学科角度而言，以这样的方式得到的二次函数性质显然缺少严谨性.高中对二次函数性质的再学习，重点就是要能够对其主要性质进行严格的代数证明，教材在编写时对二次函数的单调性给出了严格的代数证明，也说明了这一点.高中数学的学习重在发展学生的抽象逻辑思维，进一步提高学生的认知水平.深挖教材，对教学内容有一定的感悟，才能使教材在教学实际中真正做到“物尽其用”，实现高效课堂.

《二次函数的性质》是在学习了函数的概念，掌握了函数单调性证明的基础上展开的，是对函数及其性质学习的深化和提高，起到承上启下的作用.教材在第一课时已对二次函数的图像进行研究，本课通过配方法将一般二次函数化为顶点式，结合二次函数的图像对其性质进行系统的归纳，再对其单调性给出严格的代数证明，从“形”到“数”，又从“数”到“形”，是渗透数形结合思想的重要素材.二次函数是一种非常基本的初等函数，对其性质的研究也为后续研究其他函数性质提供模式.从知识应用价值上看，二次函数是解决许多实际问题的常用数学模型，还是建立函数、方程和不等式之间的有机联系的基础，是解决数学问题的常用工具.

二、以“问”导“学”，落实目标

【新课引入】

问题1：为什么要研究二次函数的性质？

设计意图：通过“置疑”，启发学生对研究二次函数性质原因的思考，激发学生学习兴趣.二次函数性质是由函数解析式得到图像，对函数图像特征进行概括出来的一些规律性的东西.知道这些性质后，我们可以快速通过二次函数表达式得到直观的函数图像，进而进行更多的研究，函数性质可以帮助我们认识从“数”到“形”的规律.

【概念形成】

问题2：请用配方法将下列二次函数化为顶点式，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

（1）[y=2x2-4x+3].

（2） [y=-x2+4x-5].

（3）[y=12x2+x+12].

问题3：画出函数图像，观察它们的单调区间.最值分别是什么.

设计意图：联系前面所学二次函数性质相关的知识，引导学生对具体的二次函数图像进行观察，得到具体二次函数的单调性与最值，为后面将性质推广到一般二次函数的教学做好铺垫.

问题4：为什么要将一般式化为顶点式？

设计意图：通过顶点式可以直观地得到二次函数的性质，知道其图像特征，画出函数图像，进行再研究，这是一个从“数”到“形”的过程.

问题5：如何研究函数[y=ax2+bx+c]的性质呢？

根据函数表达式，它是二次函数吗？让学生注意到当[a≠0]，[y=ax2+bx+c]才是二次函数.引导学生先将一般式化为顶点式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]，从顶点式知道开口方向、对称轴、顶点坐标，进而得到函数图像，结合函数图像特征，归纳单调区间、最值.

设计意图：从特殊到一般，从“形”到“数”，引导学生观察二次函数图像的特征，从而用数学语言抽象概括出函数的性质，渗透数形结合思想.根据[a]的正负，开口方向、单调区间、最值都不同，渗透分类讨论的思想.

【概念深化】

问题6：从顶点式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]中，[a，-b2a]，[4ac-b24a]你可以知道二次函数的哪些性质？

设计意图：引导学生根据二次函数顶点式，直接得到其主要性质，并思考二次函数各主要性质之间的联系.

问题7：为什么当[a>0]时，二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]在[-∞，-b2a]单调递减，如何证明？

联系前面所学知识，用单调性的定义进行证明.取值、作差变形、定号、判断.作差变形为[f（x2）-f（x1）=（x2-x1）a（x2+x1）+b].判断其与0的大小是个难点.将问题等价于判断式子[a（x2+x1）+b]的正负.分析已知[a>0]，[x1， x2∈-∞，-b2a]后，让学生给出解决办法.根据学生的想法，加以引导，解决问题.

问题8：对称轴为什么是直线[x=-b2a]？如何证明？

对称轴为直线[x=-b2a]，说明图像是轴对称图形，关于直线[x=-b2a]对称.轴对称图形，将二次函数图像关于直线[x=-b2a]对折能够完全重合.引导学生从数学角度对这种现象进行描述.在对称轴两边任取两个点，这两个点到对称轴距离相等，那么它们的函数值相等.用数学式子表述：设对称轴为[t]，[∀x∈R]，有[f（t+x）=f（t-x）]恒成立，代入二次函数表达式[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，得

[a（t+x）2+b（x+t）+c=a（t-x）2+b（t-x）+c⇒2x（2at+b）=0]恒成立，即[t=-b2a].

设计意图：通过“激疑”，引导学生认识“合理的”“直观的”的单调性，对称轴用代数进行严格的证明，这又是一个从“数”到“形”的过程，培养了学生的抽象逻辑思维.

问题9：[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]与[y=ax2+bx+c（a≠0）]比较有什么优点？

设计意图：学生讨论分析，体会二次函数顶点式在研究二次函數性质及函数图像上的直观性.

问题10：在研究二次函数性质的过程中，渗透了哪些数学思想？

从特殊到一般：通过对具体二次函数性质的研究推广到对一般二次函数性质的研究，得到二次函数的主要性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间、最值.

数形结合：在研究二次函数的单调性过程，对函数图像特征进行观察，再归纳概括函数性质，还对单调性、对称轴加以严格证明，这就是“形”与“数”结合的过程.这种方法经常用来研究函数，对今后的学习非常重要.

分类讨论：表达式[y=ax2+bx+c]，当[a=0]为一次函数，当[a≠0]为二次函数，研究二次函数性质时需要分开讨论[a>0]，[a<0]两种.

三、课堂育人，立德树人

数形结合是高中数学学习的一个非常重要思想方法.二次函数的性质是渗透数形结合思想非常重要的素材.在研究二次函数性质过程中，基于学生初中已经学习的开口方向、对称轴和顶点坐标这三个主要函数性质学情，引导画出函数草图，观察、归纳单调性与最值，这是从“数”到“形”，又从“形”到“数”的过程.在“概念深化”环节中，运用严格的代数语言对单调性、对称轴表达式进行证明，也是一个从“数”到“形”的过程.对二次函数性质的再研究，突出函数“数”与“形”之间的密切联系.数形结合思想贯穿整节课教学.

教学设计采用问题导学法.在“新课引入”环节中，以问题“为什么要研究二次函数的性质？”引发学生讨论，激发学生求知欲.函数的性质反映了函数的特征，建立起函数“数”与“形”密切的联系.在“概念形成”环节中，通过问题串引导学生，从对特殊的二次函数性质进行研究推广到对形如[y=ax2+bx+c（a≠0）]一般二次函数的性质进行研究.将研究的主动权交给学生，尊重学生学习的主体地位，帮助其掌握推理的基本方法.在研究过程中，提出“为什么要将二次函数表达式化为顶点式？”的问题，让学生体会用顶点式研究二次函数性质的合理性.在“概念深化”环节中，以问题“为什么当[a>0]，[y=ax2+bx+c（a≠0）]，在[x∈-∞，-b2a]单调递减？”“为什么[y=ax2+bx+c（a≠0）]图像的对称轴是直线[x=-b2a]？”对二次函数的单调性与对称轴表达式进行质疑，引导学生运用代数知识，对从图像上看觉得“显然”的东西进行严格证明，从而达到“释疑”的目的.在教学过程中，培育学生的理性精神，引领其追求真理，实事求是.整个教学设计，以“问”导“学”，用问题引领学生，从每个问题的提出到每个问题的解决，有条不紊地推进教学，培养学生不畏困难、勇于探索的坚韧品质.

（责任编辑 黄桂坚）